Kalkulus Contoh

$x d y = (x + y) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(x + y) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x d y - (x + y) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- (x + y) d x + x d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (x + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x + y)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (x + y)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [x + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x + y]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.4

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 2.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Langkah 2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 1 = 1$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 1 = 1$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $- 1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 5.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 1 - 1}{N}$

Langkah 5.3

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $x$ untuk $N$ .

$\frac{- 1 - 1}{x}$

Langkah 5.3.2

Kurangi $1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- 2}{x}$

Langkah 5.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 6.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 6.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Langkah 6.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Langkah 6.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Langkah 6.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- (x + y) d x + x d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- (x + y)$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- (x + y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(- x - y) \frac{1}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $- x - y$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- x - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.4

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) - y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.5

Faktorkan $- 1$ dari $- y$ .

$\frac{- (x) - (y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (y)$ .

$\frac{- (x + y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.7

Tulis kembali $- (x + y)$ sebagai $- 1 (x + y)$ .

$\frac{- 1 (x + y)}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x d y = 0$

Langkah 7.9

Kalikan $x$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 7.10

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.10.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 7.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + x \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 7.10.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{x + y}{x^{2}} d x + \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x} d y$

Langkah 9

Integralkan $N (x, y) = \frac{1}{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{x} y + C$

Langkah 9.2

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x} + g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{y}{x} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y}{x}$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- x^{- 2}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.5.2

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 12.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} = - \frac{x + y}{x^{2}}$

Langkah 13

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.1

Tambahkan $\frac{x + y}{x^{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{2}} + \frac{x + y}{x^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + x + y}{x^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $- y + x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.3.1

Tambahkan $- y$ dan $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x + 0}{x^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{1}}{x^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x^{2}} = 0$

Langkah 13.1.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1.4.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} = 0$

Langkah 13.1.1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x} = 0$

Langkah 13.1.1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x} = 0$

Langkah 13.1.2

Kurangkan $\frac{1}{x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$

Langkah 14

Temukan $- \frac{1}{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 14.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x} d x$

Langkah 14.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 14.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$g (x) = - (\ln (| x |) + C)$

Langkah 14.5

Sederhanakan.

$g (x) = - \ln (| x |) + C$

Langkah 15

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{y}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x} - \ln (| x |) + C$