Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} - 7$

Langkah 1

Biarkan $V = \frac{y}{t}$ . Substitusikan $V$ ke $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V - 7$

Langkah 2

Selesaikan $V = \frac{y}{t}$ untuk $y$ .

$y = V t$

Langkah 3

Gunakan kaidah hasil kali untuk mencari turunan dari $y = V t$ terhadap $t$ .

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Langkah 4

Substitusikan $t \frac{d V}{d t} + V$ untuk $\frac{d y}{d t}$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V - 7$

Langkah 5

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Selesaikan $\frac{d V}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d V}{d t}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1.1

Kurangkan $V$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$t \frac{d V}{d t} = - V - 7 - V$

Langkah 5.1.1.1.2

Kurangi $V$ dengan $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$

Langkah 5.1.1.2

Bagi setiap suku pada $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ dengan $t$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $t \frac{d V}{d t} = - 2 V - 7$ dengan $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Langkah 5.1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Langkah 5.1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d V}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Langkah 5.1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{- 7}{t}$

Langkah 5.1.1.2.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$

Langkah 5.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{2 V}{t} - \frac{7}{t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{2 V}{t}$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - \frac{7}{t}$

Langkah 5.1.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{7}{t}$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$

Langkah 5.1.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (\frac{2 V}{t}) - (\frac{7}{t})$ .

$\frac{d V}{d t} = - (\frac{2 V}{t} + \frac{7}{t})$

Langkah 5.1.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V + 7}{t}$

Langkah 5.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 V + 7}$ .

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{2 V + 7} (- \frac{2 V + 7}{t})$

Langkah 5.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Langkah 5.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 V + 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{2 V + 7}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Langkah 5.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = \frac{- 1}{2 V + 7} \cdot \frac{2 V + 7}{t}$

Langkah 5.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 V + 7} \frac{d V}{d t} = - \frac{1}{t}$

Langkah 5.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 V + 7} d V = - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 V + 7} d V = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Biarkan $u = 2 V + 7$ . Kemudian $d u = 2 d V$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d V$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Biarkan $u = 2 V + 7$ . Tentukan $\frac{d u}{d V}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Diferensialkan $2 V + 7$ .

$\frac{d}{d V} [2 V + 7]$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 V + 7$ terhadap $V$ adalah $\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$ .

$\frac{d}{d V} [2 V] + \frac{d}{d V} [7]$

Langkah 5.2.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d V} [2 V]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $2 V$ terhadap $V$ adalah $2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$2 \frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [7]$

Langkah 5.2.2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ adalah $n V^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d V} [7]$

Langkah 5.2.2.1.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d V} [7]$

Langkah 5.2.2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.4.1

Karena $7$ konstan terhadap $V$ , turunan dari $7$ terhadap $V$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 5.2.2.1.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 5.2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.2.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 V + 7$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{t} d t$

Langkah 5.2.3.2

Integral dari $\frac{1}{t}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - (\ln (| t |) + C_{2})$

Langkah 5.2.3.3

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) + C_{1} = - \ln (| t |) + C_{2}$

Langkah 5.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |) = - \ln (| t |) + C$

Langkah 5.3

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |)) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 V + 7 |))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| 2 V + 7 |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{\ln (| 2 V + 7 |)}{2} = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Langkah 5.3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |) + C)$

Langkah 5.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \ln (| t |) + C)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 2 V + 7 |) = 2 (- \ln (| t |)) + 2 C$

Langkah 5.3.2.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\ln (| 2 V + 7 |) = - 2 \ln (| t |) + 2 C$

Langkah 5.3.3

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |) = 2 C$

Langkah 5.3.4

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Sederhanakan $\ln (| 2 V + 7 |) + 2 \ln (| t |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| t |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln ({| t |}^{2}) = 2 C$

Langkah 5.3.4.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| t |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| 2 V + 7 |) + \ln (t^{2}) = 2 C$

Langkah 5.3.4.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 2 V + 7 | t^{2}) = 2 C$

Langkah 5.3.4.1.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| 2 V + 7 | t^{2})$ .

$\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$

Langkah 5.3.5

Untuk menyelesaikan $V$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (t^{2} | 2 V + 7 |)} = e^{2 C}$

Langkah 5.3.6

Tulis kembali $\ln (t^{2} | 2 V + 7 |) = 2 C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = t^{2} | 2 V + 7 |$

Langkah 5.3.7

Selesaikan $V$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ .

$t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$

Langkah 5.3.7.2

Bagi setiap suku pada $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ dengan $t^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.1

Bagilah setiap suku di $t^{2} | 2 V + 7 | = e^{2 C}$ dengan $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2} | 2 V + 7 |}{t^{2}} = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.7.2.2.1.2

Bagilah $| 2 V + 7 |$ dengan $1$ .

$| 2 V + 7 | = \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.7.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 V + 7 = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}$

Langkah 5.3.7.4

Kurangkan $7$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$

Langkah 5.3.7.5

Bagi setiap suku pada $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.1

Bagilah setiap suku di $2 V = \pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}} - 7$ dengan $2$ .

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Langkah 5.3.7.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 V}{2} = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Langkah 5.3.7.5.2.1.2

Bagilah $V$ dengan $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} + \frac{- 7}{2}$

Langkah 5.3.7.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.7.5.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = \frac{\pm \frac{e^{2 C}}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Langkah 5.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$V = \frac{\pm \frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Langkah 5.4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$V = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Langkah 6

Substitusikan $\frac{y}{t}$ untuk $V$ .

$\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$

Langkah 7

Selesaikan $\frac{y}{t} = \frac{C \frac{1}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}$ untuk $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan kedua ruas dengan $t$ .

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{t} t = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Sederhanakan $(\frac{C (\frac{1}{t^{2}})}{2} - \frac{7}{2}) t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{1}{t^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{t^{2}}}{2} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2.2.1.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = (\frac{C}{t^{2}} \cdot \frac{1}{2} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2.2.1.1.3

Gabungkan.

$y = (\frac{C \cdot 1}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2.2.1.1.4

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$y = (\frac{C}{t^{2} \cdot 2} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2.2.1.1.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $t^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 t^{2}} - \frac{7}{2}) t$

Langkah 7.2.2.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \frac{C}{2 t^{2}} t - \frac{7}{2} t$

Langkah 7.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.2.2.1

Faktorkan $t$ dari $2 t^{2}$ .

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Langkah 7.2.2.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{C}{t (2 t)} t - \frac{7}{2} t$

Langkah 7.2.2.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7}{2} t$

Langkah 7.2.2.1.2.3

Gabungkan $t$ dan $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{t \cdot 7}{2}$

Langkah 7.2.2.1.3

Pindahkan $7$ ke sebelah kiri $t$ .

$y = \frac{C}{2 t} - \frac{7 t}{2}$

Langkah 7.2.2.1.4

Susun kembali $\frac{C}{2 t}$ dan $- \frac{7 t}{2}$ .

$y = - \frac{7 t}{2} + \frac{C}{2 t}$