Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}}$ , $y (0) = 2$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 9$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - 9 \int x^{8} e^{- x^{9}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Kemudian $d u_{2} = - 9 x^{8} e^{- x^{9}} d x$ sehingga $- \frac{1}{9} d u_{2} = x^{8} e^{- x^{9}} d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{2} = e^{- x^{9}}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $e^{- x^{9}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{9}}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x^{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- x^{9}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Langkah 2.3.2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- x^{9}$ .

$e^{- x^{9}} \frac{d}{d x} [- x^{9}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{9}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{9}]$ .

$e^{- x^{9}} (- \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 9$ .

$e^{- x^{9}} (- (9 x^{8}))$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $9$ dengan $- 1$ .

$e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$

Langkah 2.3.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.4.1

Susun kembali faktor-faktor dari $e^{- x^{9}} (- 9 x^{8})$ .

$- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$

Langkah 2.3.2.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 9 e^{- x^{9}} x^{8}$ .

$- 9 x^{8} e^{- x^{9}}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 9 \int \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = - 9 \int - \frac{1}{9} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{1}{9} u_{2}) + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{9}$ .

$y + C_{1} = - 9 (- \frac{u_{2}}{9}) + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 9$ .

$y + C_{1} = 9 \frac{u_{2}}{9} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.3

Gabungkan $9$ dan $\frac{u_{2}}{9}$ .

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{9 u_{2}}{9} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.2.4.2

Bagilah $u_{2}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $e^{- x^{9}}$ .

$y + C_{1} = e^{- x^{9}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $2$ untuk $y$ padda $y = e^{- x^{9}} + K$ .

$2 = e^{- 0^{9}} + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{- 0^{9}} + K = 2$ .

$e^{- 0^{9}} + K = 2$

Langkah 4.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$e^{- 0} + K = 2$

Langkah 4.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$e^{0} + K = 2$

Langkah 4.2.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1 + K = 2$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$K = 2 - 1$

Langkah 4.3.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$K = 1$

Langkah 5

Substitusikan $1$ untuk $K$ dalam $y = e^{- x^{9}} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $1$ untuk $K$ .

$y = e^{- x^{9}} + 1$