Kalkulus Contoh

$\frac{d r}{d θ} = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ)$ , $r (\frac{π}{4}) = 3$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d r = \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d r = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$r + C_{1} = \int \csc^{2} (7 θ) \cot (7 θ) d θ$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Kemudian $d u_{2} = - 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ sehingga $- \frac{1}{7} d u_{2} = \cot (7 θ) \csc (7 θ) d θ$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = \csc (7 θ)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $\csc (7 θ)$ .

$\frac{d}{d θ} [\csc (7 θ)]$

Langkah 2.3.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ adalah $f' (g (θ)) g' (θ)$ di mana $f (θ) = \csc (θ)$ dan $g (θ) = 7 θ$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $7 θ$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Langkah 2.3.1.1.2.2

Turunan dari $\csc (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Langkah 2.3.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $7 θ$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [7 θ]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $7$ konstan terhadap $θ$ , turunan dari $7 θ$ terhadap $θ$ adalah $7 \frac{d}{d θ} [θ]$ .

$- \csc (7 θ) \cot (7 θ) (7 \frac{d}{d θ} [θ])$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Kalikan $7$ dengan $- 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \frac{d}{d θ} [θ]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ adalah $n θ^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ) \cdot 1$

Langkah 2.3.1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.4.1

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$

Langkah 2.3.1.1.3.4.2

Susun kembali faktor-faktor dari $- 7 \csc (7 θ) \cot (7 θ)$ .

$- 7 \cot (7 θ) \csc (7 θ)$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$r + C_{1} = \int u_{2} \frac{1}{- 7} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$r + C_{1} = \int u_{2} (- \frac{1}{7}) d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = \int - \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$r + C_{1} = - \int \frac{u_{2}}{7} d u_{2}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{7}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{7}$ keluar dari integral.

$r + C_{1} = - (\frac{1}{7} \int u_{2} d u_{2})$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tulis kembali $- \frac{1}{7} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{7}$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 7} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.6.2.2

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} {u_{2}}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\csc (7 θ)$ .

$r + C_{1} = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$

Langkah 3

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $K$ dengan mensubstitusikan $\frac{π}{4}$ untuk $θ$ dan $3$ untuk $r$ padda $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ .

$3 = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 \frac{π}{4}) + K$

Langkah 4

Selesaikan $K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (7 (\frac{π}{4})) + K = 3$

Langkah 4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Gabungkan $7$ dan $\frac{π}{4}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot \csc^{2} (\frac{7 π}{4}) + K = 3$

Langkah 4.2.1.2

Terapkan sudut acuan dengan menentukan sudut dengan nilai trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataan negatif karena kosekan negatif di kuadran keempat.

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \csc (\frac{π}{4}))}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.3

Nilai eksak dari $\csc (\frac{π}{4})$ adalah $\sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(- \sqrt{2})}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt{2}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + K = 3$

Langkah 4.2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.5.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

${(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.5.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.5.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

${(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

${(- 1)}^{2 + 1} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

${(- 1)}^{3} \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.6

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {\sqrt{2}}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.7

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{2}$ sebagai $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.7.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + K = 3$

Langkah 4.2.1.7.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Langkah 4.2.1.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{\frac{2}{2}} + K = 3$

Langkah 4.2.1.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{1}{14} \cdot 2^{1} + K = 3$

Langkah 4.2.1.7.5

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Langkah 4.2.1.8

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.8.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{14}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{14} \cdot 2 + K = 3$

Langkah 4.2.1.8.2

Faktorkan $2$ dari $14$ .

$\frac{- 1}{2 (7)} \cdot 2 + K = 3$

Langkah 4.2.1.8.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{2 \cdot 7} \cdot 2 + K = 3$

Langkah 4.2.1.8.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{7} + K = 3$

Langkah 4.2.1.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{7} + K = 3$

Langkah 4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $K$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Tambahkan $\frac{1}{7}$ ke kedua sisi persamaan.

$K = 3 + \frac{1}{7}$

Langkah 4.3.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{7}{7}$ .

$K = 3 \cdot \frac{7}{7} + \frac{1}{7}$

Langkah 4.3.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{7}{7}$ .

$K = \frac{3 \cdot 7}{7} + \frac{1}{7}$

Langkah 4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$K = \frac{3 \cdot 7 + 1}{7}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$K = \frac{21 + 1}{7}$

Langkah 4.3.5.2

Tambahkan $21$ dan $1$ .

$K = \frac{22}{7}$

Langkah 5

Substitusikan $\frac{22}{7}$ untuk $K$ dalam $r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $\frac{22}{7}$ untuk $K$ .

$r = - \frac{1}{14} \csc^{2} (7 θ) + \frac{22}{7}$

Langkah 5.2

Gabungkan $\csc^{2} (7 θ)$ dan $\frac{1}{14}$ .

$r = - \frac{\csc^{2} (7 θ)}{14} + \frac{22}{7}$