Kalkulus Contoh

$(x + 2 y^{2}) d x + (x y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x + 2 y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + 2 y^{2}]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [2 y^{2}]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 (2 y)$

Langkah 1.3.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 4 y$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $4 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y]$

Langkah 2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4 y$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $y$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$4 y = y$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$4 y = y$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $4 y$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{4 y - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $y$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{4 y - y}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x y$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x y$ untuk $N$ .

$\frac{4 y - y}{x y}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $y$ dengan $4 y$ .

$\frac{3 y}{x y}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y}{x y}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{3}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $3 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{3})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{3} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x + 2 y^{2}) d x + x y d y = 0$ dengan faktor integral $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x + 2 y^{2}$ dengan $x^{3}$ .

$(x + 2 y^{2}) x^{3} d x + x y d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(x \cdot x^{3} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{1} x^{3} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Langkah 6.3.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x^{1 + 3} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Langkah 6.3.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y d y = 0$

Langkah 6.4

Kalikan $x y$ dengan $x^{3}$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x y x^{3} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{3} x y d y = 0$

Langkah 6.5.2

Kalikan $x^{3}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{3} x^{1} y d y = 0$

Langkah 6.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{3 + 1} y d y = 0$

Langkah 6.5.3

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$(x^{4} + 2 y^{2} x^{3}) d x + x^{4} y d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} y d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = x^{4} y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $x^{4}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x^{4}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x^{4} \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $x^{4} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $x^{4} \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = x^{4} \frac{1}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $x^{4}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Gabungkan $\frac{x^{4}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + C$

Langkah 8.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4} y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4}}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.2

Gabungkan $\frac{x^{4}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{4} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.3

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{4} y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{y^{2}}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.5

Gabungkan $4$ dan $\frac{y^{2}}{2}$ .

$\frac{4 y^{2}}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $\frac{4 y^{2}}{2}$ dan $x^{3}$ .

$\frac{4 y^{2} x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.1

Faktorkan $2$ dari $4 y^{2} x^{3}$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 y^{2} x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 y^{2} x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.3.7.2.4

Bagilah $2 y^{2} x^{3}$ dengan $1$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{2} x^{3} + \frac{d g}{d x} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 2 x^{3} y^{2} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $2 x^{3} y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = x^{4} + 2 y^{2} x^{3} - 2 x^{3} y^{2}$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $x^{4} + 2 y^{2} x^{3} - 2 x^{3} y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $2 y^{2} x^{3}$ dan $- 2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{4} + 2 x^{3} y^{2} - 2 x^{3} y^{2}$

Langkah 12.1.2.2

Kurangi $2 x^{3} y^{2}$ dengan $2 x^{3} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{4} + 0$

Langkah 12.1.2.3

Tambahkan $x^{4}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{4}$

Langkah 13

Temukan $x^{4}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x^{4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{4} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{4} d x$

Langkah 13.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$g (x) = \frac{1}{5} x^{5} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} y^{2} + \frac{1}{5} x^{5} + C$

Langkah 15

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} y^{2} + \frac{1}{5} x^{5} + C$

Langkah 15.2

Gabungkan $\frac{x^{4}}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{1}{5} x^{5} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y^{2}}{2} + \frac{x^{5}}{5} + C$