Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x \sqrt{y}$

Langkah 1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{y}$ sebagai $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{\frac{1}{2}}$ .

$v = y^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{2}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{2}$

Langkah 5

Ambil turunan dari $v^{2}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ambil turunan dari $v^{2}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{2}]$

Langkah 5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $v$ .

$y' = \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$y' = 2 u_{1} \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $v$ .

$y' = 2 v \frac{d}{d x} [v]$

Langkah 5.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = 2 v v'$

Langkah 6

Substitusikan $2 v v'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{2}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} + x y = 6 x y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 v v' + x v^{2} = 6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 7

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Selesaikan $\frac{d v}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Sederhanakan $6 x {(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(v^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 7.1.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{2 (\frac{1}{2})}$

Langkah 7.1.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v^{1}$

Langkah 7.1.1.1.2

Sederhanakan.

$2 v \frac{d v}{d x} + x v^{2} = 6 x v$

Langkah 7.1.1.2

Kurangkan $x v^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$

Langkah 7.1.1.3

Bagi setiap suku pada $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ dengan $2 v$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.1

Bagilah setiap suku di $2 v \frac{d v}{d x} = 6 x v - x v^{2}$ dengan $2 v$ .

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 v \frac{d v}{d x}}{2 v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.2.2.2

Bagilah $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{6 x v}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $6 x v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 (v)} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = \frac{2 (3 x v)}{2 v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 x v}{v} + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.2.2

Bagilah $3 x$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v^{2}}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $v^{2}$ dan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.3.1

Faktorkan $v$ dari $- x v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{2 v}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.3.3.1.3.2.1

Faktorkan $v$ dari $2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{v (- x v)}{v \cdot 2}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d v}{d x} = 3 x + \frac{- x v}{2}$

Langkah 7.1.1.3.3.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} = 3 x - \frac{x v}{2}$

Langkah 7.1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $3 x - \frac{x v}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 - \frac{x v}{2}$

Langkah 7.1.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- \frac{x v}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$

Langkah 7.1.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 3 + x (- \frac{v}{2})$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 - \frac{v}{2})$

Langkah 7.1.2.2

Untuk menuliskan $3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{v}{2})$

Langkah 7.1.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = x (\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{v}{2})$

Langkah 7.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} = x \frac{3 \cdot 2 - v}{2}$

Langkah 7.1.2.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} = x \frac{6 - v}{2}$

Langkah 7.1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{2}{6 - v}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} (x \frac{6 - v}{2})$

Langkah 7.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{6 - v}{2}$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Langkah 7.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{2}{6 - v} \cdot \frac{x (6 - v)}{2}$

Langkah 7.1.4.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} (x (6 - v))$

Langkah 7.1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $6 - v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.3.1

Faktorkan $6 - v$ dari $x (6 - v)$ .

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Langkah 7.1.4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{6 - v} ((6 - v) x)$

Langkah 7.1.4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{6 - v} \frac{d v}{d x} = x$

Langkah 7.1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{2}{6 - v} d v = x d x$

Langkah 7.2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{2}{6 - v} d v = \int x d x$

Langkah 7.2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int \frac{1}{6 - v} d v = \int x d x$

Langkah 7.2.2.2

Biarkan $u_{2} = 6 - v$ . Kemudian $d u_{2} = - d v$ sehingga $- d u_{2} = d v$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Biarkan $u_{2} = 6 - v$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d v}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 7.2.2.2.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 7.2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Langkah 7.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2 \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Langkah 7.2.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}) = \int x d x$

Langkah 7.2.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int x d x$

Langkah 7.2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$- 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int x d x$

Langkah 7.2.2.7

Sederhanakan.

$- 2 \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 7.2.2.8

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $6 - v$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \int x d x$

Langkah 7.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Langkah 7.2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 7.3

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Bagi setiap suku pada $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.1

Bagilah setiap suku di $- 2 \ln (| 6 - v |) = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 \ln (| 6 - v |)}{- 2} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.2.1.2

Bagilah $\ln (| 6 - v |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.3.1.3

Gabungkan.

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{2 \cdot - 2} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$\ln (| 6 - v |) = \frac{x^{2}}{- 4} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{C}{- 2}$

Langkah 7.3.1.3.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$

Langkah 7.3.2

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 6 - v |)} = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Langkah 7.3.3

Tulis kembali $\ln (| 6 - v |) = - \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} = | 6 - v |$

Langkah 7.3.4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$ .

$| 6 - v | = e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Langkah 7.3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$6 - v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}$

Langkah 7.3.4.3

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$

Langkah 7.3.4.4

Bagi setiap suku pada $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- v = \pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}} - 6$ dengan $- 1$ .

$\frac{- v}{- 1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 7.3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{v}{1} = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 7.3.4.4.2.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1} + \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 7.3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.4.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}}{- 1}$ .

$v = - 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 7.3.4.4.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ sebagai $- (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}})$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + \frac{- 6}{- 1}$

Langkah 7.3.4.4.3.1.3

Bagilah $- 6$ dengan $- 1$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} - \frac{C}{2}}) + 6$

Langkah 7.4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}) + 6$

Langkah 7.4.2

Tulis kembali $e^{- \frac{x^{2}}{4} + C}$ sebagai $e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{- \frac{x^{2}}{4}} e^{C}) + 6$

Langkah 7.4.3

Susun kembali $e^{- \frac{x^{2}}{4}}$ dan $e^{C}$ .

$v = - (\pm e^{C} e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Langkah 7.4.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$

Langkah 8

Substitusikan $y^{\frac{1}{2}}$ untuk $v$ .

$y^{\frac{1}{2}} = - (C e^{- \frac{x^{2}}{4}}) + 6$