Kalkulus Contoh

$2 x \frac{d y}{d x} - y = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tambahkan $y$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x \frac{d y}{d x} = y$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $2 x \frac{d y}{d x} = y$ dengan $2 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x \frac{d y}{d x} = y$ dengan $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{y}{2 x}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} = \frac{y}{2 x}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{2 x}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{2 x}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x}$

Langkah 1.2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Langkah 1.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Langkah 3.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Sederhanakan $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Tulis kembali $\frac{\ln (| x |)}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) - (\frac{1}{2} \ln (| x |)) = C$

Langkah 3.3.1.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 3.3.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3.6

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Langkah 3.6.2

Kalikan kedua ruas dengan ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.6.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 3.6.4

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{2}}$