Kalkulus Contoh

$y \ln (x) - x \frac{d y}{d x} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $y \ln (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ dengan $- x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $- x \frac{d y}{d x} = - y \ln (x)$ dengan $- x$ .

$\frac{- x \frac{d y}{d x}}{- x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Langkah 1.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y \ln (x)}{- x}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \ln (x)}{x}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Langkah 1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{\ln (x)}{x})$

Langkah 1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{\ln (x)}{x}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{x} d x$ sehingga $x d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = \ln (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 2.3.1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int u d u$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (x)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln^{2} (x) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\ln^{2} (x)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| y |) = \frac{\ln^{2} (x)}{2} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C} = | y |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ .

$| y | = e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2} + C}$ sebagai $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{\frac{\ln^{2} (x)}{2}}$