Kalkulus Contoh

$3 x (y - 2) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $3 x (y - 2) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x^{2} + 1) d y = - 3 x (y - 2) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (- 3 x (y - 2)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y - 2} d y = - 3 \frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y - 2)}$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(x^{2} + 1) (y - 2)} (x (y - 2)) d x$

Langkah 3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $y - 2$ dari $(x^{2} + 1) (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} (x (y - 2)) d x$

Langkah 3.4.2

Faktorkan $y - 2$ dari $x (y - 2)$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

Langkah 3.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{(y - 2) (x^{2} + 1)} ((y - 2) x) d x$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3}{x^{2} + 1} x d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{- 3}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$\frac{1}{y - 2} d y = \frac{- 3 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 3.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y - 2} d y = - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y - 2} d y = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = y - 2$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y - 2$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 2$ .

$\frac{d}{d y} [y - 2]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 2]$

Langkah 4.2.1.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y - 2$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \int - \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \int \frac{3 x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - (3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x)$

Langkah 4.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Langkah 4.3.4

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Kemudian $d u_{2} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Biarkan $u_{2} = x^{2} + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1.1

Diferensialkan $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 4.3.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3.4.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x + 0$

Langkah 4.3.4.1.5

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 x$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Langkah 4.3.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 3$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.7.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.8

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y - 2 |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1.1

Gabungkan $\ln (| x^{2} + 1 |)$ dan $\frac{3}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Langkah 5.1.1.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y - 2 |) = - \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y - 2 |) + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $\ln (| y - 2 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y - 2 |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $\ln (| y - 2 |)$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y - 2 |) \cdot 2 + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\ln (| y - 2 |)$ .

$\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $\frac{2 \ln (| y - 2 |) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1

Sederhanakan $2 \ln (| y - 2 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y - 2 |}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| y - 2 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + 3 \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.3

Sederhanakan $3 \ln (| x^{2} + 1 |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2}) + \ln ({| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Langkah 5.6.1.1.4

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2} = C$

Langkah 5.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}{2}$ sebagai $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ .

$\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}) = C$

Langkah 5.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{2} \ln ({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})$ dengan memindahkan $\frac{1}{2}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({({(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke ${(y - 2)}^{2} {| x^{2} + 1 |}^{3}$ .

$\ln ({({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.5

Kalikan eksponen dalam ${({(y - 2)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln ({(y - 2)}^{2 (\frac{1}{2})} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln ({(y - 2)}^{1} {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.6

Sederhanakan.

$\ln ((y - 2) {({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.7

Kalikan eksponen dalam ${({| x^{2} + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.7.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}) = C$

Langkah 5.6.1.7.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\ln ((y - 2) {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Langkah 5.6.1.8

Terapkan sifat distributif.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$

Langkah 5.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}})} = e^{C}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 5.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} - 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C}$

Langkah 5.9.2

Tambahkan $2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ ke kedua sisi persamaan.

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Langkah 5.9.3

Bagi setiap suku pada $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ dengan ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.1

Bagilah setiap suku di $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ dengan ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.9.3.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5.9.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.3.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{e^{C} + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 6

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{C + 2 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$