Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + 2 y \tan (x) = \sin (x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $y$ dari $2 y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (2 \tan (x)) = \sin (x)$

Langkah 1.2

Susun kembali $y$ dan $2 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 \tan (x) y = \sin (x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2 \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 \tan (x) d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $2 \tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \tan (x) d x}$

Langkah 2.2.2

Integral dari $\tan (x)$ terhadap $x$ adalah $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{2 (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

$e^{2 \ln (| \sec (x) |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 \ln (\sec (x))}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (\sec^{2} (x))}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\sec^{2} (x)$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \frac{d y}{d x} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \sec^{2} (x) (2 \tan (x) y) = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \sec^{2} (x) \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.6

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.7

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.8

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x) y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.10

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.11

Gabungkan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.12

Kalikan $\cos^{2} (x)$ dengan $\cos (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.12.1

Kalikan $\cos^{2} (x)$ dengan $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.12.1.1

Naikkan $\cos (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{2} (x) \cos^{1} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.12.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{{\cos (x)}^{2 + 1}} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.12.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)} y = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.2.13

Gabungkan $\frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \sec^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x)$

Langkah 3.4

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Langkah 3.5

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x)$

Langkah 3.6

Gabungkan $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ dan $\sin (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.2

Pisahkan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.3

Konversikan dari $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ ke $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.4

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos^{3} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.5

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{3} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 \sin (x) y}{\cos (x) \cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.6

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.7

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos^{2} (x)} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.8

Gabungkan $\frac{2 y}{\cos^{2} (x)}$ dan $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.9

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y \tan (x)}{\cos (x) \cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.10

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.11

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.12

Tulis kembali $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ sebagai hasil kali.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.13.1

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.13.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.14

Kalikan $\frac{2 y}{\cos (x)} (\tan (x) \sec (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.14.1

Gabungkan $\tan (x)$ dan $\frac{2 y}{\cos (x)}$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)} \sec (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.14.2

Gabungkan $\frac{\tan (x) (2 y)}{\cos (x)}$ dan $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{\tan (x) (2 y) \sec (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.15

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.16

Tulis kembali $\tan (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.17

Tulis kembali $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ sebagai hasil kali.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.18

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.18.1

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.18.2

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + \frac{(2 y) \sec (x)}{1} (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.19

Bagilah $(2 y) \sec (x)$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + (2 y) \sec (x) (\tan (x) \sec (x)) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.20

Kalikan $2 y \sec (x) (\tan (x) \sec (x))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.20.1

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.20.2

Naikkan $\sec (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.20.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.7.20.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Langkah 3.8

Faktorkan $\cos (x)$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Langkah 3.9

Pisahkan pecahan.

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Langkah 3.10

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Langkah 3.11

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Langkah 3.12

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d y}{d x} \sec^{2} (x) + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$ .

$\sec^{2} (x) \frac{d y}{d x} + 2 y \sec^{2} (x) \tan (x) = \sec (x) \tan (x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] = \sec (x) \tan (x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) y] d x = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\sec^{2} (x) y = \int \sec (x) \tan (x) d x$

Langkah 7

Karena turunan dari $\sec (x)$ adalah $\sec (x) \tan (x)$ , maka integral dari $\sec (x) \tan (x)$ adalah $\sec (x)$ .

$\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ dengan $\sec^{2} (x)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $\sec^{2} (x) y = \sec (x) + C$ dengan $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\sec^{2} (x) y}{\sec^{2} (x)} = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\sec (x)}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $\sec (x)$ dan $\sec^{2} (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec^{2} (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Faktorkan $\sec (x)$ dari $\sec^{2} (x)$ .

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{\sec (x) \cdot 1}{\sec (x) \sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{1}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.2

Tulis kembali $\sec (x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$y = \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.3

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = 1 \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\sec^{2} (x)}$