Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{e^{x}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{e^{x}}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Gabungkan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y)}{y e^{x}}$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{e^{x}}$

Langkah 1.2.3

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{e^{x}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{e^{x}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{e^{x}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Langkah 2.3.2.2.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int 1 e^{- x} d x$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $e^{- x}$ dengan $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int e^{- x} d x$

Langkah 2.3.3

Biarkan $u = - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Biarkan $u = - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Diferensialkan $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.3.3.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Langkah 2.3.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.3.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int - e^{u} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (- \int e^{u} d u)$

Langkah 2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 \int e^{u} d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 (e^{u} + C_{2})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{u} + C_{2}$

Langkah 2.3.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 e^{- x} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Langkah 3.2

Tulis kembali $\ln (| y |) = - 4 e^{- x} + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 e^{- x} + C} = | y |$

Langkah 3.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 e^{- x} + C}$

Langkah 3.3.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x} + C}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis kembali $e^{- 4 e^{- x} + C}$ sebagai $e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 e^{- x}} e^{C}$

Langkah 4.2

Susun kembali $e^{- 4 e^{- x}}$ dan $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 e^{- x}}$

Langkah 4.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C e^{- 4 e^{- x}}$