Kalkulus Contoh

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $x^{2} y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} y' + y (2 x)$

Langkah 1.4

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Langkah 1.5

Hilangkan tanda kurung.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Langkah 1.6

Pindahkan $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \cos^{2} (x)$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \cos^{2} (x) d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$x^{2} y = \int \cos^{2} (x) d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gunakan rumus setengah sudut untuk menuliskan kembali $\cos^{2} (x)$ sebagai $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Langkah 5.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Langkah 5.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x)$

Langkah 5.5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 5.5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 5.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 5.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Langkah 5.6

Gabungkan $\cos (u)$ dan $\frac{1}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Langkah 5.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Langkah 5.8

Integral dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $\sin (u)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Langkah 5.9

Sederhanakan.

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Langkah 5.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

Langkah 5.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sin (2 x)$ .

$x^{2} y = \frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

Langkah 5.11.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 5.11.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Langkah 5.11.4

Kalikan $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.11.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{\sin (2 x)}{2}$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 5.11.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x^{2} y = \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

Langkah 5.12

Susun kembali suku-suku.

$x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ dengan $x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $x^{2} y = \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $x$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.1

Faktorkan $x$ dari $\frac{1}{2} x$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x^{2}} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{x \frac{1}{2}}{x \cdot x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{\frac{1}{2}}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.3

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{1}{4} \sin (2 x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.4

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $\sin (2 x)$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\frac{\sin (2 x)}{4}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.6

Gabungkan.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x) \cdot 1}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Langkah 6.3.1.7

Kalikan $\sin (2 x)$ dengan $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{\sin (2 x)}{4 x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$