Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = 6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (6 \cdot \frac{1}{x + 6} \cdot y)$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (\frac{1}{x + 6} y)$

Langkah 1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $y$ dari $\frac{1}{x + 6} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Langkah 1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{y} (y \frac{1}{x + 6})$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 6 \frac{1}{x + 6}$

Langkah 1.2.4

Gabungkan $6$ dan $\frac{1}{x + 6}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6}{x + 6}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6}{x + 6} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6}{x + 6} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{x + 6} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = x + 6$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = x + 6$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Langkah 2.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 2.3.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Langkah 2.3.2.1.4

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\ln (| u |) + C_{2})$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| u |) + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \ln (| x + 6 |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = 6 \ln (| x + 6 |) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |) = C$

Langkah 3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan $\ln (| y |) - 6 \ln (| x + 6 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Sederhanakan $- 6 \ln (| x + 6 |)$ dengan memindahkan $6$ ke dalam logaritma.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 6 |}^{6}) = C$

Langkah 3.2.1.1.2

Hapus nilai mutlak dalam ${| x + 6 |}^{6}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 6)}^{6}) = C$

Langkah 3.2.1.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$

Langkah 3.3

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}})} = e^{C}$

Langkah 3.4

Tulis kembali $\ln (\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}}$

Langkah 3.5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} = e^{C}$

Langkah 3.5.2

Kalikan kedua ruas dengan ${(x + 6)}^{6}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x + 6)}^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y |}{{(x + 6)}^{6}} {(x + 6)}^{6} = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Langkah 3.5.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y | = e^{C} {(x + 6)}^{6}$

Langkah 3.5.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1

Sederhanakan $e^{C} {(x + 6)}^{6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 6 + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 6^{2} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 36 + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.3

Kalikan $36$ dengan $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 6^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 216 + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.5

Kalikan $216$ dengan $20$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 6^{4} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.6

Naikkan $6$ menjadi pangkat $4$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 1296 + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.7

Kalikan $1296$ dengan $15$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6 x \cdot 6^{5} + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.8

Kalikan $6$ dengan $6^{5}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.8.1

Pindahkan $6^{5}$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6 x + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.8.2

Kalikan $6^{5}$ dengan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.2.1.8.2.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5} \cdot 6^{1} x + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{5 + 1} x + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.8.3

Tambahkan $5$ dan $1$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 6^{6} x + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.9

Naikkan $6$ menjadi pangkat $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 6^{6})$

Langkah 3.5.4.1.2.1.10

Naikkan $6$ menjadi pangkat $6$ .

$| y | = e^{C} (x^{6} + 36 x^{5} + 540 x^{4} + 4320 x^{3} + 19440 x^{2} + 46656 x + 46656)$

Langkah 3.5.4.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$| y | = e^{C} x^{6} + e^{C} (36 x^{5}) + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Langkah 3.5.4.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.4.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + e^{C} (540 x^{4}) + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Langkah 3.5.4.1.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + e^{C} (4320 x^{3}) + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Langkah 3.5.4.1.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + e^{C} (19440 x^{2}) + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Langkah 3.5.4.1.3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + e^{C} (46656 x) + e^{C} \cdot 46656$

Langkah 3.5.4.1.3.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + e^{C} \cdot 46656$

Langkah 3.5.4.1.3.6

Pindahkan $46656$ ke sebelah kiri $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 \cdot e^{C}$

Langkah 3.5.4.1.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} x^{6} + 36 e^{C} x^{5} + 540 e^{C} x^{4} + 4320 e^{C} x^{3} + 19440 e^{C} x^{2} + 46656 e^{C} x + 46656 e^{C}$ .

$| y | = x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C}$

Langkah 3.5.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{6} e^{C} + 36 x^{5} e^{C} + 540 x^{4} e^{C} + 4320 x^{3} e^{C} + 19440 x^{2} e^{C} + 46656 x e^{C} + 46656 e^{C})$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm (x^{6} C + 36 x^{5} C + 540 x^{4} C + 4320 x^{3} C + 19440 x^{2} C + 46656 x C + C)$