Kalkulus Contoh

$(2 x^{3} + y^{3}) d x - 3 x y^{2} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x^{3} + y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} + y^{3}]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{3} + y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.3

Karena $2 x^{3}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x^{3}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Langkah 1.5

Tambahkan $0$ dan $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - 3 x y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

Langkah 2.2

Karena $- 3 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} \cdot 1$

Langkah 2.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 y^{2}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 3 y^{2}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = - 3 y^{2}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 y^{2} = - 3 y^{2}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3 y^{2}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 3 y^{2}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 y^{2} - (- 3 y^{2})}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 3 x y^{2}$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $- 3 x y^{2}$ untuk $N$ .

$\frac{3 y^{2} - (- 3 y^{2})}{- 3 x y^{2}}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2} - (- 3 y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Faktorkan $y^{2}$ dari $3 y^{2}$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 - (- 3 y^{2})}{- 3 x y^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $- (- 3 y^{2})$ .

$\frac{y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- (- 3))}{- 3 x y^{2}}$

Langkah 4.3.2.1.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} \cdot 3 + y^{2} (- (- 3))$ .

$\frac{y^{2} (3 - (- 3))}{- 3 x y^{2}}$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$\frac{y^{2} (3 + 3)}{- 3 x y^{2}}$

Langkah 4.3.2.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$\frac{y^{2} \cdot 6}{- 3 x y^{2}}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y^{2} \cdot 6}{- 3 x y^{2}}$

Langkah 4.3.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6}{- 3 x}$

Langkah 4.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $6$ dan $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $6$ .

$\frac{3 (2)}{- 3 x}$

Langkah 4.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $- 3 x$ .

$\frac{3 (2)}{3 (- x)}$

Langkah 4.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (- x)}$

Langkah 4.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{- x}$

Langkah 4.3.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Langkah 5.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Langkah 5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- 2 \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 2})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 2} + C$

Langkah 5.6.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| x |}^{- 2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = x^{- 2} + C$

Langkah 5.6.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{2}} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(2 x^{3} + y^{3}) d x - 3 x y^{2} d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x^{3} + y^{3}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$(2 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $2 x^{3} + y^{3}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $- 3 x y^{2}$ dengan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - 3 x y^{2} \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Faktorkan $x$ dari $- 3 x y^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Langkah 6.4.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.4.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + x (- 3 y^{2}) \frac{1}{x \cdot x} d y = 0$

Langkah 6.4.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - 3 y^{2} \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + y^{2} \frac{- 3}{x} d y = 0$

Langkah 6.6

Gabungkan $y^{2}$ dan $\frac{- 3}{x}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + \frac{y^{2} \cdot - 3}{x} d y = 0$

Langkah 6.7

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x + \frac{- 3 \cdot y^{2}}{x} d y = 0$

Langkah 6.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} d x - \frac{3 y^{2}}{x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{3 y^{2}}{x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = - \frac{3 y^{2}}{x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int \frac{3 y^{2}}{x} d y$

Langkah 8.2

Karena $\frac{3}{x}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{3}{x}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - (\frac{3}{x} \int y^{2} d y)$

Langkah 8.3

Hilangkan tanda kurung.

$f (x, y) = - \frac{3}{x} \int y^{2} d y$

Langkah 8.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Langkah 8.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tulis kembali $- \frac{3}{x} (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ sebagai $- \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{x} \cdot \frac{1}{3} y^{3} + C$

Langkah 8.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{3}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{3}{3 x} y^{3} + C$

Langkah 8.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = - \frac{3}{3 x} y^{3} + C$

Langkah 8.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = - \frac{1}{x} y^{3} + C$

Langkah 8.5.2.3

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x} + g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{y^{3}}{x} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{y^{3}}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $- y^{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{y^{3}}{x}$ terhadap $x$ adalah $- y^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- y^{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$- y^{3} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- y^{3} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 y^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.3.5

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$y^{3} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y^{3} x^{- 2} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.2

Gabungkan $y^{3}$ dan $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{y^{3}}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 11.5.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{2}} = \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kurangkan $\frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3}}{x^{2}} - \frac{2 x^{3} + y^{3}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (2 x^{3} + y^{3})}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - (2 x^{3}) - y^{3}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{y^{3} - 2 x^{3} - y^{3}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4

Gabungkan suku balikan dalam $y^{3} - 2 x^{3} - y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.4.1

Kurangi $y^{3}$ dengan $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x^{3} + 0}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.4.2

Tambahkan $- 2 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x^{3}}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5

Hapus faktor persekutuan dari $x^{3}$ dan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.1

Faktorkan $x^{2}$ dari $- 2 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- 2 x)}{x^{2}} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.5.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- 2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x^{2} (- 2 x)}{x^{2} \cdot 1} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 x}{1} = 0$

Langkah 12.1.1.5.2.4

Bagilah $- 2 x$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x = 0$

Langkah 12.1.2

Tambahkan $2 x$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Langkah 13

Temukan $2 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Langkah 13.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Langkah 13.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 13.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 13.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Langkah 13.5.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + g (x)$ .

$f (x, y) = - \frac{y^{3}}{x} + x^{2} + C$