Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} \cdot \frac{2 - y}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{2 - y} d y = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u_{1} = 2 - y$ . Kemudian $d u_{1} = - d y$ sehingga $- d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u_{1} = 2 - y$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 2.2.1.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.2

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Kemudian $d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u_{2} = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.1.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan ${u_{2}}^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{- 2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$

Langkah 2.3.4

Tulis kembali $- {u_{2}}^{- 1} + C_{2}$ sebagai $- \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.5

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $x + 1$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \frac{1}{x + 1} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| 2 - y |) = - \frac{1}{x + 1} + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.2.2

Bagilah $\ln (| 2 - y |)$ dengan $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1}}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + C}{- 1}$

Langkah 3.1.3.2

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1}{x + 1} + \frac{C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C (x + 1)}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C \cdot 1}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.4.2

Kalikan $C$ dengan $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.5.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) + C x + C}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.5.2

Faktorkan $- 1$ dari $C x$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1) - (- C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - (- C x)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) + C}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.5.4

Faktorkan $- 1$ dari $C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x) - 1 (- C)}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.5.5

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1 - C x) - 1 (- C)$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{- 1 (1 - C x - C)}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.5.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \frac{1 - C x - C}{x + 1}}{- 1}$

Langkah 3.1.3.5.7

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}{1}$

Langkah 3.1.3.5.8

Bagilah $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ dengan $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$

Langkah 3.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Langkah 3.3

Tulis kembali $\ln (| 2 - y |) = \frac{1 - C x - C}{x + 1}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} = | 2 - y |$

Langkah 3.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$| 2 - y | = e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Langkah 3.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$

Langkah 3.4.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}} - 2$

Langkah 3.4.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{1 - C x - C}{x + 1}$ menjadi dua pecahan.

$- y = \pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Langkah 3.4.3.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.2.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{1 - C x}{x + 1}$ menjadi dua pecahan.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} + \frac{- C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Langkah 3.4.3.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} + \frac{- C}{x + 1}} - 2$

Langkah 3.4.3.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$

Langkah 3.4.4

Bagi setiap suku pada $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Bagilah setiap suku di $- y = \pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}} - 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.1

Untuk menuliskan $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.2

Untuk menuliskan $\frac{- 2}{- 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $1$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.3.1

Kalikan $\frac{\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{- - 1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2}{- 1} \cdot \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.3

Kalikan $\frac{- 2}{- 1}$ dengan $\frac{- 1}{- 1}$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{- - 1}$

Langkah 3.4.4.3.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1}{1} + \frac{- 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1}{x + 1} - \frac{C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.3.5.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x}{x + 1} - \frac{C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{(\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}$ .

$y = \frac{- 1 \cdot (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.4

Tulis kembali $- 1 (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ sebagai $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}})$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) - 2 \cdot - 1}{1}$

Langkah 3.4.4.3.5.5

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$y = \frac{- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2}{1}$

Langkah 3.4.4.3.6

Bagilah $- (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$ dengan $1$ .

$y = - (\pm e^{\frac{1 - C x - C}{x + 1}}) + 2$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - (\pm e^{\frac{1 + C x + C}{x + 1}}) + 2$