Kalkulus Contoh

$y d y - (2 x y + x) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$- (2 x y + x) d x + y d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (2 x y + x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y + x)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (2 x y + x)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [2 x y + x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y + x]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y + x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.4

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [x])$

Langkah 2.7

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + 0)$

Langkah 2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x)$

Langkah 2.8.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 3.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x = 0$

Langkah 4.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$- 2 x = 0$ bukan identitas.

Langkah 5

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 5.2

Substitusikan $- 2 x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{M}$

Langkah 5.3

Substitusikan $- (2 x y + x)$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Substitusikan $- (2 x y + x)$ untuk $M$ .

$\frac{0 - (- 2 x)}{- (2 x y + x)}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{0 + 2 x}{- (2 x y + x)}$

Langkah 5.3.2.2

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$\frac{2 x}{- (2 x y + x)}$

Langkah 5.3.3

Faktorkan $x$ dari $2 x y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $2 x y$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x)}$

Langkah 5.3.3.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x^{1})}$

Langkah 5.3.3.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y) + x \cdot 1)}$

Langkah 5.3.3.4

Faktorkan $x$ dari $x (2 y) + x \cdot 1$ .

$\frac{2 x}{- (x (2 y + 1))}$

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{- x (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{- (2 y + 1)}$

Langkah 5.3.5

Substitusikan $- (2 x y + x)$ untuk $M$ .

$- \frac{2}{2 y + 1}$

Langkah 5.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Langkah 6

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{2}{2 y + 1} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{2 y + 1} d y}$

Langkah 6.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y)}$

Langkah 6.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 y + 1} d y}$

Langkah 6.4

Biarkan $u = 2 y + 1$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Biarkan $u = 2 y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.1

Diferensialkan $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Langkah 6.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 6.4.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 6.4.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 6.4.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 6.4.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 6.4.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Langkah 6.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Langkah 6.5.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Langkah 6.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 6.7.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 6.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 6.7.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 6.7.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 6.7.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 6.8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 6.9

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Langkah 6.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 y + 1 |)} + C$

Langkah 6.11

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.11.1

Sederhanakan $- \ln (| 2 y + 1 |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 y + 1 |}^{- 1})} + C$

Langkah 6.11.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| 2 y + 1 |}^{- 1} + C$

Langkah 6.11.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 y + 1 |} + C$

Langkah 7

Kalikan kedua sisi $- (2 x y + x) d x + y d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{2 y + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Kalikan $- (2 x y + x)$ dengan $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- (2 x y + x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.2

Terapkan sifat distributif.

$(- (2 x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$(- 2 (x y) - x) \frac{1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.4

Kalikan $- 2 x y - x$ dengan $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$\frac{- 2 x y - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.5

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Faktorkan $x$ dari $- 2 x y$ .

$\frac{x (- 2 y) - x}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.5.2

Faktorkan $x$ dari $- x$ .

$\frac{x (- 2 y) + x \cdot - 1}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.5.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 2 y) + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (- 2 y - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2 y - 1$ dan $2 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1)}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.6.2

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y) - 1 (1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y) - 1 (1)$ .

$\frac{x (- (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.6.4

Tulis kembali $- (2 y + 1)$ sebagai $- 1 (2 y + 1)$ .

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.6.5

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (- 1 (2 y + 1))}{2 y + 1} d x + y d y = 0$

Langkah 7.6.6

Bagilah $x \cdot (- 1)$ dengan $1$ .

$x \cdot (- 1) d x + y d y = 0$

Langkah 7.7

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$- 1 x d x + y d y = 0$

Langkah 7.8

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$- x d x + y d y = 0$

Langkah 7.9

Kalikan $y$ dengan $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + y \frac{1}{2 y + 1} d y = 0$

Langkah 7.10

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{2 y + 1}$ .

$- x d x + \frac{y}{2 y + 1} d y = 0$

Langkah 8

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x d x$

Langkah 9

Integralkan $M (x, y) = - x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int x d x$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 9.3

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 10

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Langkah 11

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Langkah 12

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Langkah 12.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Langkah 12.3

Karena $- \frac{1}{2} x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- \frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 y + 1}$

Langkah 12.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Langkah 12.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$

Langkah 13

Temukan $\frac{y}{2 y + 1}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 y + 1}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 y + 1} d y$

Langkah 13.3

Bagilah $y$ dengan $2 y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.3.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 y$

$1$

$y$

$0$

Langkah 13.3.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 y$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Langkah 13.3.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$\frac{1}{2}$

Langkah 13.3.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + \frac{1}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$

Langkah 13.3.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{1}{2}$
$2 y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$\frac{1}{2}$
					-	$\frac{1}{2}$

Langkah 13.3.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$g (y) = \int \frac{1}{2} - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Langkah 13.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int \frac{1}{2} d y + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Langkah 13.5

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C + \int - \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Langkah 13.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \int \frac{1}{2 (2 y + 1)} d y$

Langkah 13.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y)$

Langkah 13.8

Hilangkan tanda kurung.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 y + 1} d y$

Langkah 13.9

Biarkan $u = 2 y + 1$ . Kemudian $d u = 2 d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1

Biarkan $u = 2 y + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1.1

Diferensialkan $2 y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 1]$

Langkah 13.9.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 13.9.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 13.9.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 13.9.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 13.9.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 13.9.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 13.9.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Langkah 13.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.10.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Langkah 13.10.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Langkah 13.10.3

Kalikan $2$ dengan $u$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} \int \frac{1}{2 u} d u$

Langkah 13.11

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 13.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.12.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{2 \cdot 2} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 13.12.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 13.13

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y + C - \frac{1}{4} (\ln (| u |) + C)$

Langkah 13.14

Sederhanakan.

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| u |) + C$

Langkah 13.15

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 y + 1$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |) + C$

Langkah 15.1.3

Kalikan $- \frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.3.1

Susun kembali $\ln (| 2 y + 1 |)$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - (\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)) + C$

Langkah 15.1.3.2

Sederhanakan $\frac{1}{4} \ln (| 2 y + 1 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{4}$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{y}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) + C$

Langkah 15.2

Untuk menuliskan $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 15.3

Gabungkan $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 15.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 15.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1

Kalikan $- \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}}) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}{2} + C$

Langkah 15.5.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2})}{2} + C$

Langkah 15.5.2

Kalikan eksponen dalam ${({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{4} \cdot 2})}{2} + C$

Langkah 15.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2})}{2} + C$

Langkah 15.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2})}{2} + C$

Langkah 15.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = \frac{y}{2} + \frac{- x^{2} - \ln ({| 2 y + 1 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$