Kalkulus Contoh

$(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y + 1]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + \frac{d}{d y} [1]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x (x + 4 y - 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 4 y - 2)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 4 y - 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x + 4 y - 2] + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4 y - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [4 y] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Karena $4 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.4

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.5

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (1 + 0) + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \cdot 1 + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + (x + 4 y - 2) \cdot 1$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Kalikan $x + 4 y - 2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x + x + 4 y - 2$

Langkah 2.3.8.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 y - 2$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x + 4 y - 2$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 2 x + 4 y - 2$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x = 2 x + 4 y - 2$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $2 x + 4 y - 2$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $x (x + 4 y - 2)$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $x (x + 4 y - 2)$ untuk $N$ .

$\frac{x - (2 x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{x - (2 x) - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - (4 y) - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y - - 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{x - 2 x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.2.3

Kurangi $2 x$ dengan $x$ .

$\frac{- x - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $- x - 4 y + 2$ dan $x + 4 y - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$\frac{- (x) - 4 y + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 4 y$ .

$\frac{- (x) - (4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - (4 y)$ .

$\frac{- (x + 4 y) + 2}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3.4

Tulis kembali $2$ sebagai $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y) - 1 (- 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (x + 4 y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3.6

Tulis kembali $- (x + 4 y - 2)$ sebagai $- 1 (x + 4 y - 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3.7

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1 (x + 4 y - 2)}{x (x + 4 y - 2)}$

Langkah 4.3.3.8

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{x}$

Langkah 4.3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{1}{x}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{x} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $- \ln (| x |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 1} + C$

Langkah 5.4.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(x y + 1) d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $x y + 1$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$(x y + 1) \frac{1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $x y + 1$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $x (x + 4 y - 2)$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y + 1}{x} d x + x (x + 4 y - 2) \frac{1}{x} d y = 0$

Langkah 6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y + 1}{x} d x + (x + 4 y - 2) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + 4 y - 2 d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = x + 4 y - 2$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x d y + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Langkah 8.2

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x y + C + \int 4 y d y + \int - 2 d y$

Langkah 8.3

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x y + C + 4 \int y d y + \int - 2 d y$

Langkah 8.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int - 2 d y$

Langkah 8.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{1}{2} y^{2} + C) - 2 y + C$

Langkah 8.6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = x y + C + 4 (\frac{y^{2}}{2} + C) - 2 y + C$

Langkah 8.7

Sederhanakan.

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.3.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Karena $2 y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.4.2

Karena $- 2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$y + 0 + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.6.1.1

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y + 0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.6.1.2

Tambahkan $y$ dan $0$ .

$y + \frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 11.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y = \frac{x y + 1}{x}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y + 1}{x} - y$

Langkah 12.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Pisahkan pecahan $\frac{x y + 1}{x}$ menjadi dua pecahan.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Langkah 12.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d g}{d x} = \frac{x y}{x} + \frac{1}{x} - y$

Langkah 12.1.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} = y + \frac{1}{x} - y$

Langkah 12.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $y + \frac{1}{x} - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.3.1

Kurangi $y$ dengan $y$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x} + 0$

Langkah 12.1.3.2

Tambahkan $\frac{1}{x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 13

Temukan $\frac{1}{x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 13.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$g (x) = \ln (| x |) + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + g (x)$ .

$f (x, y) = x y + 2 y^{2} - 2 y + \ln (| x |) + C$