Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$

Langkah 1

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial, biarkan $v = y^{1 - n}$ di mana $n$ adalah eksponen dari $y^{3}$ .

$v = y^{- 2}$

Langkah 2

Selesaikan persamaan untuk $y$ .

$y = v^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 3

Ambil turunan dari $y$ terhadap $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 4

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ambil turunan dari $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{2}}]$

Langkah 4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{2}}}]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 1$ dan $g (x) = v^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{{(v^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 4.4.2

Kalikan eksponen dalam ${(v^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 4.4.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v^{1}}$

Langkah 4.5

Sederhanakan.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{2}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.6.2.1

Kalikan $v^{\frac{1}{2}}$ dengan $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6.2.2

Kurangi $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]$ dengan $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.6.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{2}}]}{v}$

Langkah 4.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.7.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.8

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.9

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.11.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.12

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{\frac{1}{2} v^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $v^{- \frac{1}{2}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.14

Pindahkan $v^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [v]}{v}$

Langkah 4.15

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [v]$ sebagai $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}} v'}{v}$

Langkah 4.16

Gabungkan $\frac{1}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ dan $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$

Langkah 4.17

Tulis kembali $\frac{\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}}{v}$ sebagai hasil kali.

$y' = - (\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{v})$

Langkah 4.18

Kalikan $\frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{v}$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{1}{2}} v}$

Langkah 4.19

Naikkan $v$ menjadi pangkat $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 (v^{1} v^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 4.20

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.21

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 4.22

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 4.23

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y' = - \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 5

Substitusikan $- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ dengan $\frac{d y}{d x}$ dan $v^{- \frac{1}{2}}$ dengan $y$ dalam persamaan asli $\frac{d y}{d x} - y = x y^{3}$ .

$- \frac{v'}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$

Langkah 6

Selesaikan persamaan diferensial tersubstitusi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan setiap suku pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ dengan $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} - v^{- \frac{1}{2}} = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ dengan $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2 v^{\frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.1.2

Faktorkan $2 v^{\frac{3}{2}}$ dari $- (2 v^{\frac{3}{2}})$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} (- 1)) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{2 v^{\frac{3}{2}}} (2 v^{\frac{3}{2}} \cdot - 1) - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.3

Kalikan $\frac{d v}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{- \frac{1}{2}} (- (2 v^{\frac{3}{2}})) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.4

Kalikan $v^{- \frac{1}{2}}$ dengan $v^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1.4.1

Pindahkan $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} - (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{1}{2}}) (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{3 - 1}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.4.4

Kurangi $1$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{\frac{2}{2}} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.4.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v^{1} (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.5

Sederhanakan $- v^{1} (- 1 \cdot (2))$ .

$\frac{d v}{d x} - v (- 1 \cdot (2)) = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} - v \cdot - 2 = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.2.1.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} (- (2 v^{\frac{3}{2}}))$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 1 \cdot 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x {(v^{- \frac{1}{2}})}^{3} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3

Kalikan eksponen dalam ${(v^{- \frac{1}{2}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{1}{2} \cdot 3} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3.2

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.3.2.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- 3 (\frac{1}{2})} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3.2.2

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{- 3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{- \frac{3}{2}} v^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.4

Kalikan $v^{- \frac{3}{2}}$ dengan $v^{\frac{3}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.4.1

Pindahkan $v^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x (v^{\frac{3}{2}} v^{- \frac{3}{2}})$

Langkah 6.1.3.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3}{2} - \frac{3}{2}}$

Langkah 6.1.3.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{3 - 3}{2}}$

Langkah 6.1.3.4.4

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{\frac{0}{2}}$

Langkah 6.1.3.4.5

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x v^{0}$

Langkah 6.1.3.5

Sederhanakan $- 2 x v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = - 2 x$

Langkah 6.2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Buat integralnya.

$e^{\int 2 d x}$

Langkah 6.2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{2 x + C}$

Langkah 6.2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{2 x}$

Langkah 6.3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (- 2 x)$

Langkah 6.3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (- 2 x)$

Langkah 6.3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$

Langkah 6.3.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = - 2 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = - 2 x e^{2 x}$

Langkah 6.4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = - 2 x e^{2 x}$

Langkah 6.5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int - 2 x e^{2 x} d x$

Langkah 6.6

Integralkan sisi kiri.

$e^{2 x} v = \int - 2 x e^{2 x} d x$

Langkah 6.7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$e^{2 x} v = - 2 \int x e^{2 x} d x$

Langkah 6.7.2

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 6.7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 6.7.3.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Langkah 6.7.3.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Langkah 6.7.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Langkah 6.7.5

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.5.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.5.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 6.7.5.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.7.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 6.7.5.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 6.7.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u)$

Langkah 6.7.6

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 6.7.7

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Langkah 6.7.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.8.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.7.8.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Langkah 6.7.9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Langkah 6.7.10

Tulis kembali $- 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Langkah 6.7.11

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Langkah 6.7.12

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Langkah 6.7.12.1.2

Gabungkan $\frac{x}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C$

Langkah 6.7.12.1.3

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = - 2 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.12.2

Terapkan sifat distributif.

$e^{2 x} v = - 2 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.12.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$e^{2 x} v = 2 (- 1) \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.12.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2 x} v = 2 \cdot - 1 \frac{x e^{2 x}}{2} - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.12.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C$

Langkah 6.7.12.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{2 x}}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - 2 \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Langkah 6.7.12.4.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 (- 1) \frac{- e^{2 x}}{4} + C$

Langkah 6.7.12.4.3

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 6.7.12.4.4

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{2 x}}{2 \cdot 2} + C$

Langkah 6.7.12.4.5

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{2 x} v = - (x e^{2 x}) - \frac{- e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.5.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} - - \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.5.2

Kalikan $- - \frac{e^{2 x}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.5.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.5.2.2

Kalikan $\frac{e^{2 x}}{2}$ dengan $1$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.6

Untuk menuliskan $- x e^{2 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} v = - x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.7

Gabungkan $- x e^{2 x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{2 x} v = \frac{- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.9

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.9.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.12.9.1.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- x e^{2 x} \cdot 2$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C$

Langkah 6.7.12.9.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C$

Langkah 6.7.12.9.1.3

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $e^{2 x} (- x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Langkah 6.7.12.9.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C$

Langkah 6.7.12.10

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) + 1)}{2} + C$

Langkah 6.7.12.11

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x) - 1 (- 1))}{2} + C$

Langkah 6.7.12.12

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- (2 x - 1))}{2} + C$

Langkah 6.7.12.13

Tulis kembali $- (2 x - 1)$ sebagai $- 1 (2 x - 1)$ .

$e^{2 x} v = \frac{e^{2 x} (- 1 (2 x - 1))}{2} + C$

Langkah 6.7.12.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x} (2 x - 1)}{2} + C$

Langkah 6.7.13

Hilangkan tanda kurung.

$e^{2 x} v = - \frac{1}{2} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

Langkah 6.8

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.1

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$

Langkah 6.8.2

Bagi setiap suku pada $e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ dengan $e^{2 x}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.1

Bagilah setiap suku di $e^{2 x} v = - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C$ dengan $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.2.1.2

Bagilah $v$ dengan $1$ .

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1)}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot (2 x - 1) + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.2.1

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{- \frac{e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.2.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{e^{2 x}}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.2.2

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 (x)) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$v = \frac{\frac{- e^{2 x}}{2} (2 x) - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$v = \frac{- e^{2 x} x - \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1 + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.3

Kalikan $- \frac{e^{2 x}}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$v = \frac{- e^{2 x} x + 1 \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.3.2

Kalikan $\frac{e^{2 x}}{2}$ dengan $1$ .

$v = \frac{- e^{2 x} x + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.4

Gabungkan $- e^{2 x} x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ menggunakan penyebut umum.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.2.4.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.4.2

Untuk menuliskan $- 1 x e^{2 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{- 1 x e^{2 x} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.4.3

Gabungkan $- 1 x e^{2 x}$ dan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2}{2} + \frac{e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{\frac{- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.2.5.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- 1 x e^{2 x} \cdot 2 + e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.2.5.1.1

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $- 1 x e^{2 x} \cdot 2$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x}}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.5.1.2

Kalikan dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.5.1.3

Faktorkan $e^{2 x}$ dari $e^{2 x} (- 1 x \cdot 2) + e^{2 x} \cdot 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 1 x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.5.2

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- x \cdot 2 + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.2.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.3

Untuk menuliskan $C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + C \cdot \frac{2}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.4.1

Gabungkan $C$ dan $\frac{2}{2}$ .

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x + 1) + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.5.1

Terapkan sifat distributif.

$v = \frac{\frac{e^{2 x} (- 2 x) + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} \cdot 1 + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.5.3

Kalikan $e^{2 x}$ dengan $1$ .

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + C \cdot 2}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.5.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$v = \frac{\frac{- 2 e^{2 x} x + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.6.1

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 e^{2 x} x$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) + e^{2 x} + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6.2

Faktorkan $- 1$ dari $e^{2 x}$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 e^{2 x} x) - 1 (- e^{2 x})$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) + 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6.4

Faktorkan $- 1$ dari $2 C$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6.5

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 e^{2 x} x - e^{2 x}) - (- 2 C)$ .

$v = \frac{\frac{- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.8.2.3.6.6.1

Tulis kembali $- (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ sebagai $- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)$ .

$v = \frac{\frac{- 1 (2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C)}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$v = \frac{- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.6.6.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $- \frac{2 e^{2 x} x - e^{2 x} - 2 C}{2}$ .

$v = \frac{- \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.7

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2} \cdot \frac{1}{e^{2 x}}$

Langkah 6.8.2.3.8

Kalikan $\frac{1}{e^{2 x}}$ dengan $\frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2}$ .

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{e^{2 x} \cdot 2}$

Langkah 6.8.2.3.9

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$v = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$

Langkah 7

Substitusikan $y^{- 2}$ untuk $v$ .

$y^{- 2} = - \frac{2 x e^{2 x} - e^{2 x} - 2 C}{2 e^{2 x}}$