Kalkulus Contoh

$y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 3 + 3 x - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 + 3 x - y]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + 3 x - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.2.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.4

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 3 + 0$

Langkah 2.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 + 0$

Langkah 2.5.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $3$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$1 = 3$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$1 = 3$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $1$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 - 1}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{3 - 1}{y}$

Langkah 4.3.2

Substitusikan $y$ untuk $M$ .

$\frac{2}{y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Langkah 5.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Sederhanakan $2 \ln (| y |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Langkah 5.4.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Langkah 5.4.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $y d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$ dengan faktor integral $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

$y \cdot y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{1} y^{2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{1 + 2} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $3 + 3 x - y$ dengan $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 + 3 x - y) y^{2} d y = 0$

Langkah 6.4

Terapkan sifat distributif.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y \cdot y^{2}) d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y)) d y = 0$

Langkah 6.5.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - (y^{2} y^{1})) d y = 0$

Langkah 6.5.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{2 + 1}) d y = 0$

Langkah 6.5.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y^{3} d x + (3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}) d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{3} d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = y^{3}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{3} x + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x + g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{3} x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y^{3} x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 11.3.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 11.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $3 y^{2} x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 y^{2} + 3 x y^{2} - y^{3} - 3 y^{2} x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $3 x y^{2}$ dan $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 3 y^{2} x - y^{3} - 3 y^{2} x$

Langkah 12.1.2.2

Kurangi $3 y^{2} x$ dengan $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3} + 0$

Langkah 12.1.2.3

Tambahkan $3 y^{2} - y^{3}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$

Langkah 13

Temukan $3 y^{2} - y^{3}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} - y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} - y^{3} d y$

Langkah 13.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Langkah 13.4

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int - y^{3} d y$

Langkah 13.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - y^{3} d y$

Langkah 13.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - \int y^{3} d y$

Langkah 13.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) - (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Langkah 13.8

Sederhanakan.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Langkah 13.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Langkah 13.9.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.9.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Langkah 13.9.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (y) = 1 y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Langkah 13.9.3

Kalikan $y^{3}$ dengan $1$ .

$g (y) = y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} + C$

Langkah 15

Gabungkan $y^{4}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = y^{3} x + y^{3} - \frac{y^{4}}{4} + C$