Kalkulus Contoh

$(2 x + x y) d x + y d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x + x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + x y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x + x y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 1.2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [x y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + x$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $x$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $0$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$x = 0$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$x = 0$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Langkah 4.2

Substitusikan $x$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - x}{M}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 x + x y$ untuk $M$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 x + x y$ untuk $M$ .

$\frac{0 - x}{2 x + x y}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $x$ dengan $0$ .

$\frac{- x}{2 x + x y}$

Langkah 4.3.3

Faktorkan $x$ dari $2 x + x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x y}$

Langkah 4.3.3.2

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{- x}{x \cdot 2 + x (y)}$

Langkah 4.3.3.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- x}{x (2 + y)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 1}{2 + y}$

Langkah 4.3.5

Substitusikan $2 x + x y$ untuk $M$ .

$- \frac{1}{2 + y}$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int - \frac{1}{2 + y} d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{2 + y} d y}$

Langkah 5.2

Biarkan $u = 2 + y$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Biarkan $u = 2 + y$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Diferensialkan $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Langkah 5.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5.2.1.3

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 5.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 5.2.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 5.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Langkah 5.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 + y$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| 2 + y |)} + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $- \ln (| 2 + y |)$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| 2 + y |}^{- 1})} + C$

Langkah 5.6.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| 2 + y |}^{- 1} + C$

Langkah 5.6.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| 2 + y |} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(2 x + x y) d x + y d y = 0$ dengan faktor integral $\frac{1}{2 + y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $2 x + x y$ dengan $\frac{1}{2 + y}$ .

$(2 x + x y) \frac{1}{2 + y} d x + y d y = 0$

Langkah 6.2

Kalikan $2 x + x y$ dengan $\frac{1}{2 + y}$ .

$\frac{2 x + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Langkah 6.3

Faktorkan $x$ dari $2 x + x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Faktorkan $x$ dari $2 x$ .

$\frac{x \cdot 2 + x y}{2 + y} d x + y d y = 0$

Langkah 6.3.2

Faktorkan $x$ dari $x y$ .

$\frac{x \cdot 2 + x (y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Langkah 6.3.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 2 + x (y)$ .

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Langkah 6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2 + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x (2 + y)}{2 + y} d x + y d y = 0$

Langkah 6.4.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x d x + y d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $y$ dengan $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + y \frac{1}{2 + y} d y = 0$

Langkah 6.6

Gabungkan $y$ dan $\frac{1}{2 + y}$ .

$x d x + \frac{y}{2 + y} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d x$

Langkah 8

Integralkan $M (x, y) = x$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{y}{2 + y}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Langkah 11.3

Karena $\frac{1}{2} x^{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{y}{2 + y}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Langkah 11.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d y}$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$

Langkah 12

Temukan $\frac{y}{2 + y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = \frac{y}{2 + y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{2 + y} d y$

Langkah 12.3

Susun kembali $2$ dan $y$ .

$g (y) = \int \frac{y}{y + 2} d y$

Langkah 12.4

Bagilah $y$ dengan $y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.4.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$y$

$2$

$y$

$0$

Langkah 12.4.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $y$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $y$ .

					$1$
	$y$	+	$2$		$y$	+	$0$

Langkah 12.4.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$2$

Langkah 12.4.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $y + 2$

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$

Langkah 12.4.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$y$	+	$2$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$2$
					-	$2$

Langkah 12.4.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$g (y) = \int 1 - \frac{2}{y + 2} d y$

Langkah 12.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$g (y) = \int d y + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Langkah 12.6

Terapkan aturan konstanta.

$g (y) = y + C + \int - \frac{2}{y + 2} d y$

Langkah 12.7

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$g (y) = y + C - \int \frac{2}{y + 2} d y$

Langkah 12.8

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (y) = y + C - (2 \int \frac{1}{y + 2} d y)$

Langkah 12.9

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{y + 2} d y$

Langkah 12.10

Biarkan $u = y + 2$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.10.1

Biarkan $u = y + 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.10.1.1

Diferensialkan $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 12.10.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 12.10.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 12.10.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 12.10.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 12.10.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (y) = y + C - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 12.11

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$g (y) = y + C - 2 (\ln (| u |) + C)$

Langkah 12.12

Sederhanakan.

$g (y) = y - 2 \ln (| u |) + C$

Langkah 12.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y + 2$ .

$g (y) = y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Langkah 14

Sederhanakan $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - 2 \ln (| y + 2 |) + C$

Langkah 14.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln (| y + 2 |)$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({| y + 2 |}^{2}) + C$

Langkah 14.1.3

Hapus nilai mutlak dalam ${| y + 2 |}^{2}$ karena eksponensiasi dengan pangkat genap selalu positif.

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y - \ln ({(y + 2)}^{2}) + C$

Langkah 14.2

Untuk menuliskan $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Langkah 14.3

Gabungkan $- \ln ({(y + 2)}^{2})$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 14.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2}{2} + C$

Langkah 14.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1

Kalikan $- \ln ({(y + 2)}^{2}) \cdot 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - 2 \ln ({(y + 2)}^{2})}{2} + C$

Langkah 14.5.1.2

Sederhanakan $- 2 \ln ({(y + 2)}^{2})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({({(y + 2)}^{2})}^{2})}{2} + C$

Langkah 14.5.2

Kalikan eksponen dalam ${({(y + 2)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.5.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{2 \cdot 2})}{2} + C$

Langkah 14.5.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (x, y) = y + \frac{x^{2} - \ln ({(y + 2)}^{4})}{2} + C$