Kalkulus Contoh

$(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $(x - 1) \frac{d y}{d x} + x y = (x - 1) e^{- x}$ dengan $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(x - 1) \frac{d y}{d x}}{x - 1} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Langkah 1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = \frac{(x - 1) e^{- x}}{x - 1}$

Langkah 1.3.2

Bagilah $e^{- x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x y}{x - 1} = e^{- x}$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{x y}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{x}{x - 1} = e^{- x}$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{x}{x - 1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{x}{x - 1} y = e^{- x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{x}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{x}{x - 1} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{x}{x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah $x$ dengan $x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$1$
	$x$	-	$1$		$x$	+	$0$

Langkah 2.2.1.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	-	$1$

Langkah 2.2.1.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x - 1$

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$

Langkah 2.2.1.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$1$
$x$	-	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	+	$1$
					+	$1$

Langkah 2.2.1.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$e^{\int 1 + \frac{1}{x - 1} d x}$

Langkah 2.2.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{\int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + C + \int \frac{1}{x - 1} d x}$

Langkah 2.2.4

Biarkan $u = x - 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Biarkan $u = x - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1.1

Diferensialkan $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Langkah 2.2.4.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Langkah 2.2.4.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.4.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.4.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{x + C + \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 2.2.5

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{x + C + \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

$e^{x + \ln (| u |) + C}$

Langkah 2.2.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$e^{x + \ln (| x - 1 |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{x + \ln (x - 1)}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{x}{x - 1} y) = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{x}{x - 1}$ dan $y$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + e^{x + \ln (x - 1)} \frac{x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $e^{x + \ln (x - 1)}$ dan $\frac{x y}{x - 1}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.3

Untuk menuliskan $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)}{x - 1} + \frac{e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Faktorkan $e^{x + \ln (x - 1)}$ dari $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1) + e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1.1

Faktorkan $e^{x + \ln (x - 1)}$ dari $e^{x + \ln (x - 1)} \frac{d y}{d x} (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} x y}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.5.1.2

Faktorkan $e^{x + \ln (x - 1)}$ dari $e^{x + \ln (x - 1)} x y$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.5.1.3

Faktorkan $e^{x + \ln (x - 1)}$ dari $e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1)) + e^{x + \ln (x - 1)} (x y)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} (x - 1) + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x + \frac{d y}{d x} \cdot - 1 + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.5.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - 1 \cdot \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.5.4

Tulis kembali $- 1 \frac{d y}{d x}$ sebagai $- \frac{d y}{d x}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1)} e^{- x}$

Langkah 3.6

Kalikan $e^{x + \ln (x - 1)}$ dengan $e^{- x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{x + \ln (x - 1) - x}$

Langkah 3.6.2

Gabungkan suku balikan dalam $x + \ln (x - 1) - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{0 + \ln (x - 1)}$

Langkah 3.6.2.2

Tambahkan $0$ dan $\ln (x - 1)$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = e^{\ln (x - 1)}$

Langkah 3.7

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Langkah 3.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (\frac{d y}{d x} x - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} (x \frac{d y}{d x} - \frac{d y}{d x} + x y)}{x - 1} = x - 1$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] = x - 1$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x + \ln (x - 1)} y] d x = \int x - 1 d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x - 1 d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \int x d x + \int - 1 d x$

Langkah 7.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 d x$

Langkah 7.3

Terapkan aturan konstanta.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} + C - x + C$

Langkah 7.4

Sederhanakan.

$e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ dengan $e^{x + \ln (x - 1)}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{x + \ln (x - 1)} y = \frac{1}{2} x^{2} - x + C$ dengan $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x + \ln (x - 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{x + \ln (x - 1)} y}{e^{x + \ln (x - 1)}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Langkah 8.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Langkah 8.3.1.3

Gabungkan.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Langkah 8.3.1.4

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{- x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$

Langkah 8.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{x + \ln (x - 1)}} - \frac{x}{e^{x + \ln (x - 1)}} + \frac{C}{e^{x + \ln (x - 1)}}$