Kalkulus Contoh

$4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagi setiap suku pada $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ dengan $4 x y$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Bagilah setiap suku di $4 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - 1$ dengan $4 x y$ .

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x y \frac{d y}{d x}}{4 x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.2.3.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $y^{2}$ dan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1.1

Faktorkan $y$ dari $y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1.2.1

Faktorkan $y$ dari $4 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (4 x)} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} + \frac{- 1}{4 x y}$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} - \frac{1}{4 x y}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menuliskan $\frac{y}{4 x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{4 x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{4 x y}$

Langkah 1.2.2

Kalikan $\frac{y}{4 x}$ dengan $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{4 x y} - \frac{1}{4 x y}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y - 1}{4 x y}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y - 1}{4 x y}$

Langkah 1.2.4.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} y^{1} - 1}{4 x y}$

Langkah 1.2.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1 + 1} - 1}{4 x y}$

Langkah 1.2.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1}{4 x y}$

Langkah 1.2.4.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} - 1^{2}}{4 x y}$

Langkah 1.2.4.6

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = y$ dan $b = 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 x y}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} (\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y} \cdot \frac{1}{x})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $\frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Langkah 1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.2.1

Faktorkan $4 y$ dari $4 y x$ .

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y (x)}$

Langkah 1.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{4 y x}$

Langkah 1.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $(y + 1) (y - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(y + 1) (y - 1)} \cdot \frac{(y + 1) (y - 1)}{x}$

Langkah 1.5.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \frac{1}{x} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{4 y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int \frac{y}{(y + 1) (y - 1)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.2

Biarkan $u = (y + 1) (y - 1)$ . Kemudian $d u = 2 y d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Biarkan $u = (y + 1) (y - 1)$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Diferensialkan $(y + 1) (y - 1)$ .

$\frac{d}{d y} [(y + 1) (y - 1)]$

Langkah 2.2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ adalah $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ di mana $f (y) = y + 1$ dan $g (y) = y - 1$ .

$(y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$(y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.2.1.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$(y + 1) (1 + 0) + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.2.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(y + 1) \cdot 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.2.1.3.4.2

Kalikan $y + 1$ dengan $1$ .

$y + 1 + (y - 1) \frac{d}{d y} [y + 1]$

Langkah 2.2.2.1.3.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$y + 1 + (y - 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 2.2.2.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + \frac{d}{d y} [1])$

Langkah 2.2.2.1.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$y + 1 + (y - 1) (1 + 0)$

Langkah 2.2.2.1.3.8

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.8.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$y + 1 + (y - 1) \cdot 1$

Langkah 2.2.2.1.3.8.2

Kalikan $y - 1$ dengan $1$ .

$y + 1 + y - 1$

Langkah 2.2.2.1.3.8.3

Tambahkan $y$ dan $y$ .

$2 y + 1 - 1$

Langkah 2.2.2.1.3.8.4

Sederhanakan dengan mengurangkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.3.8.4.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$2 y + 0$

Langkah 2.2.2.1.3.8.4.2

Tambahkan $2 y$ dan $0$ .

$2 y$

Langkah 2.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$4 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.5.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

$2 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(y + 1) (y - 1)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$2 \ln (| (y + 1) (y - 1) |) = \ln (| x |) + C$