Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d t} = e^{t} {(y - 1)}^{2}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{{(y - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} (e^{t} {(y - 1)}^{2})$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari ${(y - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan ${(y - 1)}^{2}$ dari $e^{t} {(y - 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} ({(y - 1)}^{2} e^{t})$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} \frac{d y}{d t} = e^{t}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = e^{t} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{{(y - 1)}^{2}} d y = \int e^{t} d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Biarkan $u = y - 1$ . Kemudian $d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Biarkan $u = y - 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Diferensialkan $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Langkah 2.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y - 1$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Langkah 2.2.1.1.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 1$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int e^{t} d t$

Langkah 2.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int e^{t} d t$

Langkah 2.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int e^{t} d t$

Langkah 2.2.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int e^{t} d t$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Langkah 2.2.4

Tulis kembali $- u^{- 1} + C_{1}$ sebagai $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Langkah 2.2.5

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = \int e^{t} d t$

Langkah 2.3

Integral dari $e^{t}$ terhadap $t$ adalah $e^{t}$ .

$- \frac{1}{y - 1} + C_{1} = e^{t} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$y - 1, 1, 1$

Langkah 3.1.2

Hilangkan tanda kurung.

$y - 1, 1, 1$

Langkah 3.1.3

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$y - 1$

Langkah 3.2

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ dengan $y - 1$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{y - 1} = e^{t} + K$ dengan $y - 1$ .

$- \frac{1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{y - 1}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Langkah 3.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{y - 1} (y - 1) = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Langkah 3.2.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = e^{t} (y - 1) + K (y - 1)$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 = e^{t} y + e^{t} \cdot - 1 + K (y - 1)$

Langkah 3.2.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{t}$ .

$- 1 = e^{t} y - 1 \cdot e^{t} + K (y - 1)$

Langkah 3.2.3.1.3

Tulis kembali $- 1 e^{t}$ sebagai $- e^{t}$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K (y - 1)$

Langkah 3.2.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y + K \cdot - 1$

Langkah 3.2.3.1.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $K$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - 1 \cdot K$

Langkah 3.2.3.1.6

Tulis kembali $- 1 K$ sebagai $- K$ .

$- 1 = e^{t} y - e^{t} + K y - K$

Langkah 3.2.3.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{t} y - e^{t} + K y - K$ .

$- 1 = y e^{t} - e^{t} + K y - K$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$ .

$y e^{t} - e^{t} + K y - K = - 1$

Langkah 3.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Tambahkan $e^{t}$ ke kedua sisi persamaan.

$y e^{t} + K y - K = - 1 + e^{t}$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $K$ ke kedua sisi persamaan.

$y e^{t} + K y = - 1 + e^{t} + K$

Langkah 3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y e^{t} + K y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Faktorkan $y$ dari $y e^{t}$ .

$y (e^{t}) + K y = - 1 + e^{t} + K$

Langkah 3.3.3.2

Faktorkan $y$ dari $K y$ .

$y (e^{t}) + y K = - 1 + e^{t} + K$

Langkah 3.3.3.3

Faktorkan $y$ dari $y (e^{t}) + y K$ .

$y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$

Langkah 3.3.4

Bagi setiap suku pada $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ dengan $e^{t} + K$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.1

Bagilah setiap suku di $y (e^{t} + K) = - 1 + e^{t} + K$ dengan $e^{t} + K$ .

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{t} + K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (e^{t} + K)}{e^{t} + K} = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1}{e^{t} + K} + \frac{e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 1 + e^{t}}{e^{t} + K} + \frac{K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{- 1 + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) + e^{t} + K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.5

Faktorkan $- 1$ dari $e^{t}$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 1 (- e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- e^{t})$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) + K}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.7

Faktorkan $- 1$ dari $K$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.8

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1 - e^{t}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 - e^{t} - K)}{e^{t} + K}$

Langkah 3.3.4.3.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y = - \frac{1 - e^{t} - K}{e^{t} + K}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = - \frac{1 - e^{t} + K}{e^{t} + K}$