Kalkulus Contoh

$(x y^{2} + y) d x + (x^{2} y + x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = x y^{2} + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2} + y]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x y^{2} + y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [x y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x y^{2}$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y) + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y + 1$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x^{2} y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} y + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 1$

Langkah 2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y + 1$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $2 x y + 1$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $2 x y + 1$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$2 x y + 1 = 2 x y + 1$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{2} + y d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = x y^{2} + y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x y^{2} d x + \int y d x$

Langkah 5.2

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $y^{2}$ keluar dari integral.

$f (x, y) = y^{2} \int x d x + \int y d x$

Langkah 5.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y d x$

Langkah 5.4

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y x + C$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{2} (\frac{x^{2}}{2} + C) + y x + C$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y x + C$

Langkah 5.7

Susun kembali suku-suku.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} y + x$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3.3

Karena $\frac{x^{2}}{2}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3.5

Gabungkan $2$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3.6

Gabungkan $\frac{2 x^{2}}{2}$ dan $y$ .

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3.7

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.3.7.2

Bagilah $x^{2} y$ dengan $1$ .

$x^{2} y + \frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.4

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x^{2} y + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} y + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x^{2} y + x + \frac{d}{d y} [g (y)] = x^{2} y + x$

Langkah 8.5

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} y + x + \frac{d g}{d y} = x^{2} y + x$

Langkah 8.6

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y + x = x^{2} y + x$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d y}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kurangkan $x^{2} y$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + x = x^{2} y + x - x^{2} y$

Langkah 9.1.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + x - x^{2} y - x$

Langkah 9.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $x^{2} y + x - x^{2} y - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Kurangi $x^{2} y$ dengan $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x + 0 - x$

Langkah 9.1.3.2

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} = x - x$

Langkah 9.1.3.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0$

Langkah 10

Temukan $0$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 0 d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 0 d y$

Langkah 10.3

Integral dari $0$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$g (y) = 0 + C$

Langkah 10.4

Tambahkan $0$ dan $C$ .

$g (y) = C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + y x + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} x^{2} + y x + C$

Langkah 12.2

Gabungkan $\frac{y^{2}}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} x^{2}}{2} + y x + C$