Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Faktorkan $x^{2} y^{3}$ dari $x^{3} y^{3} - x^{2} y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Faktorkan $x^{2} y^{3}$ dari $x^{3} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) - x^{2} y^{3}}{x + x y^{4}}$

Langkah 1.1.2

Faktorkan $x^{2} y^{3}$ dari $- x^{2} y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)}{x + x y^{4}}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $x^{2} y^{3}$ dari $x^{2} y^{3} (x) + x^{2} y^{3} (- 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x + x y^{4}}$

Langkah 1.2

Faktorkan $x$ dari $x + x y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x^{1} + x y^{4}}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x y^{4}}$

Langkah 1.2.3

Faktorkan $x$ dari $x y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot 1 + x (y^{4})}$

Langkah 1.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 1 + x (y^{4})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x \cdot (1 + y^{4})}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $x$ dengan $1 + y^{4}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{3} (x - 1)}{x (1 + y^{4})}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1 + y^{4}}{y^{3}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x^{2} (x - 1)}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x^{1}} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x (x - 1))}{x \cdot 1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (\frac{x (x - 1)}{1} \cdot \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.1.2.5

Bagilah $x (x - 1)$ dengan $1$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} (x (x - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x \cdot x + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.3

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} + x \cdot - 1) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - 1 \cdot x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.5

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} ((x^{2} - x) \frac{y^{3}}{1 + y^{4}})$

Langkah 1.5.6

Kalikan $x^{2} - x$ dengan $\frac{y^{3}}{1 + y^{4}}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Langkah 1.5.7

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \cdot \frac{(x^{2} - x) y^{3}}{1 + y^{4}}$

Langkah 1.5.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} ((x^{2} - x) y^{3})$

Langkah 1.5.8

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.8.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $(x^{2} - x) y^{3}$ .

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Langkah 1.5.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (y^{3} (x^{2} - x))$

Langkah 1.5.8.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = x^{2} - x$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = (x^{2} - x) d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 + y^{4}}{y^{3}} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{3}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{3 \cdot - 1} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\int (1 + y^{4}) y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.2

Kalikan $(1 + y^{4}) y^{- 3}$ .

$\int 1 y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $y^{- 3}$ dengan $1$ .

$\int y^{- 3} + y^{4} y^{- 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan $y^{4}$ dengan $y^{- 3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int y^{- 3} + y^{4 - 3} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.3.2.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$\int y^{- 3} + y^{1} d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.3.3

Sederhanakan $y^{1}$ .

$\int y^{- 3} + y d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y^{- 3} d y + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 3}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \int y d y = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{2} = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.1

Sederhanakan.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.7.2.1

Kalikan $\frac{1}{y^{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.7.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + \frac{1}{2} y^{2} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.2.8

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} - x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - x d x$

Langkah 2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - \int x d x$

Langkah 2.3.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - \frac{1}{2 y^{2}} = \frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{2} x^{2} + K$