Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(x^{2} + x)}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x^{2} + x}$

Langkah 1.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x^{2} + x}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{2} + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x}$

Langkah 1.2.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x^{1}}$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Langkah 1.2.2.4

Faktorkan $x$ dari $x \cdot x + x \cdot 1$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (x + 1)}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Langkah 2.2

Integral dari $\frac{1}{y}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x (x + 1)} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Tulis pecahan menggunakan penguraian pecahan parsial.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Uraikan pecahan dan kalikan dengan penyebut persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Untuk setiap faktor pada penyebut, buat pecahan baru menggunakan faktor sebagai penyebutnya, dan nilai yang tidak diketahui sebagai pembilangnya. karena faktor pada penyebutnya linear, letakkan sebuah variabel di tempat $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.2

Kalikan setiap pecahan dalam persamaan dengan penyebut dari pernyataan awalnya. Dalam hal ini, penyebutnya adalah $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.5

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.5.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.5.1.2

Bagilah $A (x + 1)$ dengan $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.5.3

Kalikan $A$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.1.5.4.2

Bagilah $(B) (x)$ dengan $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Langkah 2.3.1.1.6

Pindahkan $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Langkah 2.3.1.2

Buatlah persamaan untuk variabel pecahan parsial dan gunakan untuk membuat sistem persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Buat persamaan dari variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien $x$ dari masing-masing sisi persamaan. Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$0 = A + B$

Langkah 2.3.1.2.2

Buat persamaan untuk variabel pecahan parsial dengan menyamakan koefisien suku yang tidak memuat $x$ . Agar persamaannya sama, koefisien setara pada setiap sisi persamaan harus sama.

$1 = A$

Langkah 2.3.1.2.3

Buat sistem persamaan untuk menentukan koefisien dari pecahan parsialnya.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Langkah 2.3.1.3

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $A = 1$ .

$A = 1$

$0 = A + B$

Langkah 2.3.1.3.2

Substitusikan semua kemunculan $A$ dengan $1$ dalam masing-masing persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.2.1

Substitusikan semua kemunculan $A$ dalam $0 = A + B$ dengan $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Langkah 2.3.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.2.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Langkah 2.3.1.3.3

Selesaikan $B$ dalam $0 = 1 + B$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

Langkah 2.3.1.3.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Langkah 2.3.1.3.4

Selesaikan sistem persamaan tersebut.

$B = - 1 A = 1$

Langkah 2.3.1.3.5

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$B = - 1, A = 1$

Langkah 2.3.1.4

Ganti masing-masing koefisien pecahan parsial dalam $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ dengan nilai-nilai yang didapat dari $A$ dan $B$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Langkah 2.3.1.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} + \int - \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{x + 1} d x$

Langkah 2.3.5

Biarkan $u = x + 1$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Biarkan $u = x + 1$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1.1

Diferensialkan $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.3.5.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.3.5.1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 2.3.5.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 2.3.5.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2} - (\ln (| u |) + C_{3})$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (| x |) - \ln (| u |) + C_{4}$

Langkah 2.3.8

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| u |}) + C_{4}$

Langkah 2.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y |) = \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) + C$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |}) = C$

Langkah 3.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{| x |}{| x + 1 |}}) = C$

Langkah 3.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\ln (| y | (\frac{| x + 1 |}{| x |})) = C$

Langkah 3.4

Kalikan $| y | \frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Gabungkan $| y |$ dan $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ .

$\ln (\frac{| y | | x + 1 |}{| x |}) = C$

Langkah 3.4.2

Untuk mengalikan nilai-nilai mutlak, kalikan suku-suku di dalam masing-masing nilai mutlaknya.

$\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$

Langkah 3.5

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |})} = e^{C}$

Langkah 3.6

Tulis kembali $\ln (\frac{| y (x + 1) |}{| x |}) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y (x + 1) |}{| x |}$

Langkah 3.7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} = e^{C}$

Langkah 3.7.2

Kalikan kedua ruas dengan $| x |$ .

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1

Sederhanakan $\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $| x |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{| y (x + 1) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Langkah 3.7.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$| y (x + 1) | = e^{C} | x |$

Langkah 3.7.3.1.2

Terapkan sifat distributif.

$| y x + y \cdot 1 | = e^{C} | x |$

Langkah 3.7.3.1.3

Kalikan $y$ dengan $1$ .

$| y x + y | = e^{C} | x |$

Langkah 3.7.4

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{C} | x |$ .

$| y x + y | = | x | e^{C}$

Langkah 3.7.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y x + y = \pm | x | e^{C}$

Langkah 3.7.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\pm | x | e^{C}$ .

$y x + y = \pm e^{C} | x |$

Langkah 3.7.4.4

Faktorkan $y$ dari $y x + y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.4.1

Faktorkan $y$ dari $y x$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Langkah 3.7.4.4.2

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$y (x) + y = \pm e^{C} | x |$

Langkah 3.7.4.4.3

Faktorkan $y$ dari $y^{1}$ .

$y (x) + y \cdot 1 = \pm e^{C} | x |$

Langkah 3.7.4.4.4

Faktorkan $y$ dari $y (x) + y \cdot 1$ .

$y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$

Langkah 3.7.4.5

Bagi setiap suku pada $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ dengan $x + 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.1

Bagilah setiap suku di $y (x + 1) = \pm e^{C} | x |$ dengan $x + 1$ .

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Langkah 3.7.4.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y (x + 1)}{x + 1} = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Langkah 3.7.4.5.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C} | x |}{x + 1}$

Langkah 4

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\pm C | x |}{x + 1}$

Langkah 4.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = \frac{C | x |}{x + 1}$