Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{2 y}$

Langkah 1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Faktorkan $y$ dari $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Langkah 1.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{6 x - x^{3}}{y \cdot 2}$

Langkah 1.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{6 x - x^{3}}{2}$

Langkah 1.2.2

Faktorkan $x$ dari $6 x - x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $x$ dari $6 x$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 - x^{3}}{2}$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 6 + x (- x^{2})}{2}$

Langkah 1.2.2.3

Faktorkan $x$ dari $x \cdot 6 + x (- x^{2})$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x (6 - x^{2})}{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y d y = \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x (6 - x^{2})}{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int x (6 - x^{2}) d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u = 6 - x^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u = 6 - x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $6 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [6 - x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $6 - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.2.2

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Langkah 2.3.2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$0 - 2 x$

Langkah 2.3.2.1.4

Kurangi $2 x$ dengan $0$ .

$- 2 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int u (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $u$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} \int - \frac{u}{2} d u$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- \int \frac{u}{2} d u)$

Langkah 2.3.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int u d u))$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int u d u$

Langkah 2.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \int u d u$

Langkah 2.3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.1

Tulis kembali $- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ sebagai $- \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.8.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2 \cdot 4} u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.8.2.2

Kalikan $2$ dengan $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} u^{2} + C_{2}$

Langkah 2.3.9

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $6 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $2 (- \frac{1}{8} {(6 - x^{2})}^{2} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Gabungkan ${(6 - x^{2})}^{2}$ dan $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Untuk menuliskan $K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + K \cdot \frac{8}{8})$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Gabungkan $K$ dan $\frac{8}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{{(6 - x^{2})}^{2}}{8} + \frac{K \cdot 8}{8})$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{8}$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 (4)}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} = 2 \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Langkah 3.2.2.1.3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + K \cdot 8}{4}$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan $8$ ke sebelah kiri $K$ .

$y^{2} = \frac{- {(6 - x^{2})}^{2} + 8 K}{4}$

Langkah 3.2.2.1.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.5.1

Faktorkan $- 1$ dari $- {(6 - x^{2})}^{2}$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) + 8 K}{4}$

Langkah 3.2.2.1.5.2

Faktorkan $- 1$ dari $8 K$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)}{4}$

Langkah 3.2.2.1.5.3

Faktorkan $- 1$ dari $- ({(6 - x^{2})}^{2}) - (- 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Langkah 3.2.2.1.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.5.4.1

Tulis kembali $- ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ sebagai $- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)$ .

$y^{2} = \frac{- 1 ({(6 - x^{2})}^{2} - 8 K)}{4}$

Langkah 3.2.2.1.5.4.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{2} = - \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{{(6 - x^{2})}^{2} - 8 K}{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali ${(6 - x^{2})}^{2}$ sebagai $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{(6 - x^{2}) (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.2

Perluas $(6 - x^{2}) (6 - x^{2})$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 (6 - x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.2.2

Terapkan sifat distributif.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} (6 - x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.2.3

Terapkan sifat distributif.

$y = \pm \sqrt{- \frac{6 \cdot 6 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 + 6 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - x^{2} \cdot 6 - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.3

Kalikan $6$ dengan $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.5

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1.5.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.5.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + 1 x^{4} - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.1.7

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 6 x^{2} - 6 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.3.2

Kurangi $6 x^{2}$ dengan $- 6 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}}$

Langkah 3.4.4

Tulis kembali $- \frac{36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K}{4}$ sebagai ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{4}}$

Langkah 3.4.4.2

Faktorkan kuadrat sempurna $2^{2}$ dari $4$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Langkah 3.4.4.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Langkah 3.4.4.4

Susun kembali $- 1$ dan ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Langkah 3.4.4.5

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Langkah 3.4.4.6

Tambahkan tanda kurung.

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K))}$

Langkah 3.4.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Langkah 3.4.6

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$

Langkah 3.4.7

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} - 8 K)}}{2}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- (36 - 12 x^{2} + x^{4} + K)}}{2}$