Kalkulus Contoh

$(\cos (x) + \ln (y)) d x + (\frac{x}{y} + e^{y}) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \cos (x) + \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x) + \ln (y)]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\cos (x) + \ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Langkah 1.2.2

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\cos (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Langkah 1.3

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{y}$

Langkah 1.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{y}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{y}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = \frac{x}{y} + e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y} + e^{y}]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x}{y} + e^{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{y}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\frac{1}{y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{y}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y} + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $\frac{1}{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $\frac{1}{y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\frac{1}{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{1}{y} = \frac{1}{y}$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\frac{1}{y} = \frac{1}{y}$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x) + \ln (y) d x$

Langkah 5

Integralkan $M (x, y) = \cos (x) + \ln (y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int \cos (x) d x + \int \ln (y) d x$

Langkah 5.2

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$f (x, y) = \sin (x) + C + \int \ln (y) d x$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \sin (x) + C + \ln (y) x + C$

Langkah 5.4

Sederhanakan.

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + C$

Langkah 6

Karena integral $g (y)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + g (y)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x) + \ln (y) x + g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x) + \ln (y) x + g (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x)] + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.2.2

Karena $\sin (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\sin (x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\ln (y) x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [\ln (y) x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\ln (y) x$ terhadap $y$ adalah $x \frac{d}{d y} [\ln (y)]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [\ln (y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.3.2

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$0 + x \frac{1}{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.3.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{y}$ .

$0 + \frac{x}{y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (y)$ adalah $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + \frac{x}{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Tambahkan $0$ dan $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{y} + \frac{d g}{d y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 8.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} = \frac{x}{y} + e^{y}$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Selesaikan $\frac{d g}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Kurangkan $\frac{x}{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} = e^{y}$

Langkah 9.1.1.2

Kurangkan $e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} - e^{y} = 0$

Langkah 9.1.1.3

Gabungkan suku balikan dalam $\frac{d g}{d y} + \frac{x}{y} - \frac{x}{y} - e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.3.1

Kurangi $\frac{x}{y}$ dengan $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d g}{d y} + 0 - e^{y} = 0$

Langkah 9.1.1.3.2

Tambahkan $\frac{d g}{d y}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d y} - e^{y} = 0$

Langkah 9.1.2

Tambahkan $e^{y}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d y} = e^{y}$

Langkah 10

Temukan $e^{y}$ untuk menemukan $g (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d y} = e^{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int e^{y} d y$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int e^{y} d y$

Langkah 10.3

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$g (y) = e^{y} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (y)$ dalam $f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + g (y)$ .

$f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + e^{y} + C$

Langkah 12

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \sin (x) + \ln (y) x + e^{y} + C$ .

$f (x, y) = \sin (x) + x \ln (y) + e^{y} + C$