Kalkulus Contoh

$\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = \sin (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\sin (3 x)]$

Langkah 1.2

Karena $\sin (3 x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $\sin (3 x)$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = 2 y \cos^{3} (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 y \cos^{3} (3 x)]$

Langkah 2.2

Karena $2 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 y \cos^{3} (3 x)$ terhadap $x$ adalah $2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [\cos^{3} (3 x)]$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \cos (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Langkah 2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $\cos (3 x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (3 \cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Langkah 2.4

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y (\cos^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 2.5.2

Turunan dari $\cos (u_{2})$ terhadap $u_{2}$ adalah $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 2.5.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y \cos^{2} (3 x) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 2.6

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Langkah 2.6.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.6.3

Kalikan $3$ dengan $- 6$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.6.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) \cdot 1$

Langkah 2.6.5

Kalikan $- 18$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$0 = - 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $2 y \cos^{3} (3 x)$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $2 y \cos^{3} (3 x)$ untuk $N$ .

$\frac{0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0 - (- 18 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x))$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $- 18 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 \cdot 0}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.2.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)) + 2 (0)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Langkah 4.3.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0)}{2 (y \cos^{3} (3 x))}$

Langkah 4.3.2.5.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 9 \cdot - 1 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $- 9$ dengan $- 1$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x) + 0}{y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.3.2

Tambahkan $9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ dan $0$ .

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 y \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{y \cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $\cos^{2} (3 x)$ dan $\cos^{3} (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Faktorkan $\cos^{2} (3 x)$ dari $9 \cos^{2} (3 x) \sin (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{3} (3 x)}$

Langkah 4.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.2.1

Faktorkan $\cos^{2} (3 x)$ dari $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Langkah 4.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos^{2} (3 x) (9 \sin (3 x))}{\cos^{2} (3 x) \cos (3 x)}$

Langkah 4.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{9 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Langkah 4.3.6

Pisahkan pecahan.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Langkah 4.3.7

Konversikan dari $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ ke $\tan (3 x)$ .

$\frac{9}{1} \tan (3 x)$

Langkah 4.3.8

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$9 \tan (3 x)$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int 9 \tan (3 x) d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (3 x) d x}$

Langkah 5.2

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 5.2.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 5.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 5.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \tan (u) \frac{1}{3} d u}$

Langkah 5.3

Gabungkan $\tan (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$μ (x, y) = e^{9 \int \frac{\tan (u)}{3} d u}$

Langkah 5.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$μ (x, y) = e^{9 (\frac{1}{3} \int \tan (u) d u)}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{9}{3} \int \tan (u) d u}$

Langkah 5.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $9$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $9$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3} \int \tan (u) d u}$

Langkah 5.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \tan (u) d u}$

Langkah 5.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$μ (x, y) = e^{\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \tan (u) d u}$

Langkah 5.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$μ (x, y) = e^{\frac{3}{1} \int \tan (u) d u}$

Langkah 5.5.2.2.4

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$μ (x, y) = e^{3 \int \tan (u) d u}$

Langkah 5.6

Integral dari $\tan (u)$ terhadap $u$ adalah $\ln (| \sec (u) |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| \sec (u) |) + C)}$

Langkah 5.7

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (u) |)} + C$

Langkah 5.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| \sec (3 x) |)} + C$

Langkah 5.9

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Sederhanakan $3 \ln (| \sec (3 x) |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| \sec (3 x) |}^{3})} + C$

Langkah 5.9.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$μ (x, y) = {| \sec (3 x) |}^{3} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $\sin (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$ dengan faktor integral $\sec^{3} (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $\sin (3 x)$ dengan $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sin (3 x) \sec^{3} (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.2

Tulis kembali $\sec (3 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\sin (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sin (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sin (3 x) \frac{1}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.5

Gabungkan $\sin (3 x)$ dan $\frac{1}{\cos^{3} (3 x)}$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos^{3} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.6

Faktorkan $\cos (3 x)$ dari $\cos^{3} (3 x)$ .

$\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x) \cos^{2} (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.7

Pisahkan pecahan.

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.8

Konversikan dari $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ ke $\tan (3 x)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.9

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.10

Tulis kembali $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (3 x)}$ sebagai ${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{2} \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.11

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (3 x)}$ ke $\sec (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.12

Kalikan $2 y \cos^{3} (3 x)$ dengan $\sec^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \sec^{3} (3 x) d y = 0$

Langkah 6.13

Tulis kembali $\sec (3 x)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) {(\frac{1}{\cos (3 x)})}^{3} d y = 0$

Langkah 6.14

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{\cos (3 x)}$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cos^{3} (3 x) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Langkah 6.15

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos^{3} (3 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.15.1

Faktorkan $\cos^{3} (3 x)$ dari $2 y \cos^{3} (3 x)$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Langkah 6.15.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + \cos^{3} (3 x) (2 y) \frac{1^{3}}{\cos^{3} (3 x)} d y = 0$

Langkah 6.15.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1^{3} d y = 0$

Langkah 6.16

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y \cdot 1 d y = 0$

Langkah 6.17

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x + 2 y d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 y d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = 2 y$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$f (x, y) = 2 \int y d y$

Langkah 8.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 8.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (x, y) = 1 y^{2} + C$

Langkah 8.3.2.3

Kalikan $y^{2}$ dengan $1$ .

$f (x, y) = y^{2} + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2} + g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y^{2} + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Langkah 11.3

Karena $y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Langkah 11.5

Tambahkan $0$ dan $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$

Langkah 12

Temukan $\sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = \sec^{2} (3 x) \tan (3 x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Langkah 12.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sec^{2} (3 x) \tan (3 x) d x$

Langkah 12.3

Biarkan $u_{2} = \sec (3 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 3 \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = \sec (3 x) \tan (3 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Biarkan $u_{2} = \sec (3 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.1

Diferensialkan $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Langkah 12.3.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sec (x)$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sec (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 12.3.1.2.2

Turunan dari $\sec (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\sec (u_{1}) \tan (u_{1})$ .

$\sec (u_{1}) \tan (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 12.3.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $3 x$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 12.3.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 12.3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Langkah 12.3.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1.3.3.1

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Langkah 12.3.1.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \sec (3 x) \tan (3 x)$

Langkah 12.3.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$g (x) = \int u_{2} \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 12.4

Gabungkan $u_{2}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \int \frac{u_{2}}{3} d u_{2}$

Langkah 12.5

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{1}{3} \int u_{2} d u_{2}$

Langkah 12.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u_{2}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Langkah 12.7

Tulis kembali $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ sebagai $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 12.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.8.1

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 12.8.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$g (x) = \frac{1}{6} {u_{2}}^{2} + C$

Langkah 12.9

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $\sec (3 x)$ .

$g (x) = \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Langkah 13

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{1}{6} \sec^{2} (3 x) + C$

Langkah 14

Gabungkan $\frac{1}{6}$ dan $\sec^{2} (3 x)$ .

$f (x, y) = y^{2} + \frac{\sec^{2} (3 x)}{6} + C$