Kalkulus Contoh

$3 y \frac{d y}{d x} = 2 x^{2}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$3 y d y = 2 x^{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int 3 y d y = \int 2 x^{2} d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int y d y = \int 2 x^{2} d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int 2 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Tulis kembali $3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ sebagai $3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$3 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

Langkah 2.2.3.2

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \int 2 x^{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ sebagai $2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} = \frac{2}{3} x^{3} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2}) = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} (\frac{3}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 y^{2}}{2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Gabungkan.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (3 y^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 y^{2}}{3} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.1.1.4.2

Bagilah $y^{2}$ dengan $1$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $\frac{2}{3} (\frac{2}{3} x^{3} + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $x^{3}$ .

$y^{2} = \frac{2}{3} (\frac{2 x^{3}}{3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{2}{3} K$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Gabungkan.

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2}{3} K$

Langkah 3.2.2.1.1.4

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $K$ .

$y^{2} = \frac{2 (2 x^{3})}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Langkah 3.2.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{3 \cdot 3} + \frac{2 K}{3}$

Langkah 3.2.2.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y^{2} = \frac{2^{2} x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

Langkah 3.2.2.1.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$y^{2} = \frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menuliskan $\frac{2 K}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K}{3} \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.4.2

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $9$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Kalikan $\frac{2 K}{3}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{3 \cdot 3}}$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3}}{9} + \frac{2 K \cdot 3}{9}}$

Langkah 3.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 x^{3} + 2 K \cdot 3}{9}}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3} + 2 K \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $4 x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 K \cdot 3}{9}}$

Langkah 3.4.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $2 K \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)}{9}}$

Langkah 3.4.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 (2 x^{3}) + 2 (K \cdot 3)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + K \cdot 3)}{9}}$

Langkah 3.4.4.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{9}}$

Langkah 3.4.5

Tulis kembali $\frac{2 (2 x^{3} + 3 K)}{9}$ sebagai ${(\frac{1}{3})}^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.5.1

Faktorkan kuadrat sempurna $1^{2}$ dari $2 (2 x^{3} + 3 K)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}{9}}$

Langkah 3.4.5.2

Faktorkan kuadrat sempurna $3^{2}$ dari $9$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}}$

Langkah 3.4.5.3

Susun kembali pecahan $\frac{1^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (2 (2 x^{3} + 3 K))}$

Langkah 3.4.6

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \pm \frac{1}{3} \sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}$

Langkah 3.4.7

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + 3 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (2 x^{3} + K)}}{3}$