Kalkulus Contoh

$(y + \sin (x)) d y + (y \cos (x) - 2 x) d x = 0$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tulis kembali.

$(y \cos (x) - 2 x) d x + (y + \sin (x)) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = y \cos (x) - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x) - 2 x]$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y \cos (x) - 2 x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y \cos (x)] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [y \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\cos (x)$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $y \cos (x)$ terhadap $y$ adalah $\cos (x) \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.3.3

Kalikan $\cos (x)$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + \frac{d}{d y} [- 2 x]$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- 2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x) + 0$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $\cos (x)$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \cos (x)$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = y + \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + \sin (x)]$

Langkah 3.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + \sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 3.2.2

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 3.3

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \cos (x)$

Langkah 3.4

Tambahkan $0$ dan $\cos (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \cos (x)$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\cos (x)$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $\cos (x)$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\cos (x) = \cos (x)$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$\cos (x) = \cos (x)$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y + \sin (x) d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = y + \sin (x)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int y d y + \int \sin (x) d y$

Langkah 6.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \int \sin (x) d y$

Langkah 6.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C + \sin (x) y + C$

Langkah 6.4

Sederhanakan.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9.2.2

Karena $\frac{1}{2} y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\sin (x) y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\sin (x) y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$0 + y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9.3.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Tambahkan $0$ dan $y \cos (x)$ .

$y \cos (x) + \frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 9.5.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + y \cos (x) = y \cos (x) - 2 x$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Kurangkan $y \cos (x)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$

Langkah 10.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $y \cos (x) - 2 x - y \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Kurangi $y \cos (x)$ dengan $y \cos (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x + 0$

Langkah 10.1.2.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 2 x$

Langkah 11

Temukan $- 2 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = - 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 2 x d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 2 x d x$

Langkah 11.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$g (x) = - 2 \int x d x$

Langkah 11.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 11.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Tulis kembali $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 11.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{- 2}{2} x^{2} + C$

Langkah 11.5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C$

Langkah 11.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C$

Langkah 11.5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Langkah 11.5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = \frac{- 1}{1} x^{2} + C$

Langkah 11.5.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$g (x) = - x^{2} + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Langkah 13

Sederhanakan $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$

Langkah 13.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \sin (x) y - x^{2} + C$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + y \sin (x) - x^{2} + C$