Kalkulus Contoh

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Langkah 1

Periksa apakah sisi kiri persamaan merupakan turunan dari suku $(1 + x^{2}) y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = 1 + x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 1.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$(1 + x^{2}) y' + y \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Langkah 1.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.4

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Langkah 1.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (0 + 2 x)$

Langkah 1.6

Tambahkan $0$ dan $2 x$ .

$(1 + x^{2}) y' + y (2 x)$

Langkah 1.7

Substitusikan $\frac{d y}{d x}$ untuk $y'$ .

$(1 + x^{2}) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Langkah 1.8

Susun kembali $1$ dan $x^{2}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Langkah 1.9

Hilangkan tanda kurung.

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Langkah 1.10

Pindahkan $y$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Langkah 2

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] = x$

Langkah 3

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [(1 + x^{2}) y] d x = \int x d x$

Langkah 4

Integralkan sisi kiri.

$(1 + x^{2}) y = \int x d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 6

Bagi setiap suku pada $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $1 + x^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagilah setiap suku di $(1 + x^{2}) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ dengan $1 + x^{2}$ .

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $1 + x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{(1 + x^{2}) y}{1 + x^{2}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.3.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.3.1.3

Kalikan $\frac{x^{2}}{2}$ dengan $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}}$

Langkah 6.3.2

Untuk menuliskan $\frac{C}{1 + x^{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C}{1 + x^{2}} \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 6.3.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $2 (1 + x^{2})$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Kalikan $\frac{C}{1 + x^{2}}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{(1 + x^{2}) \cdot 2}$

Langkah 6.3.3.2

Susun kembali faktor-faktor dari $(1 + x^{2}) \cdot 2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (1 + x^{2})} + \frac{C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Langkah 6.3.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{x^{2} + C \cdot 2}{2 (1 + x^{2})}$

Langkah 6.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $C$ .

$y = \frac{x^{2} + 2 C}{2 (1 + x^{2})}$