Kalkulus Contoh

$(4 + e^{2 y}) d x = x e^{2 y} d y$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$x e^{2 y} d y = (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x (4 + e^{2 y})}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x e^{2 y}$ .

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x (e^{2 y})) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (x e^{2 y}) d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4 + e^{2 y}} e^{2 y} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 3.2

Gabungkan $\frac{1}{4 + e^{2 y}}$ dan $e^{2 y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x (4 + e^{2 y})} (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4 + e^{2 y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $4 + e^{2 y}$ dari $x (4 + e^{2 y})$ .

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{(4 + e^{2 y}) x} (4 + e^{2 y}) d x$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{e^{2 y}}{4 + e^{2 y}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Kemudian $d u_{2} = 2 e^{2 y} d y$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{2} = e^{2 y} d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{2} = 4 + e^{2 y}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{d}{d y} [4 + e^{2 y}]$

Langkah 4.2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 + e^{2 y}$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$\frac{d}{d y} [4] + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Langkah 4.2.1.1.2.2

Karena $4$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $4$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$

Langkah 4.2.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ adalah $f' (g (y)) g' (y)$ di mana $f (y) = e^{y}$ dan $g (y) = 2 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 y$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 4.2.1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$0 + e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 4.2.1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 y$ .

$0 + e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]$

Langkah 4.2.1.1.3.2

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 y$ terhadap $y$ adalah $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])$

Langkah 4.2.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + e^{2 y} (2 \cdot 1)$

Langkah 4.2.1.1.3.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$0 + e^{2 y} \cdot 2$

Langkah 4.2.1.1.3.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 y}$ .

$0 + 2 e^{2 y}$

Langkah 4.2.1.1.4

Tambahkan $0$ dan $2 e^{2 y}$ .

$2 e^{2 y}$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.3

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.4

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.2.6

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $4 + e^{2 y}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Langkah 4.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 4 + e^{2 y} |) = \ln (| x |) + C$