Kalkulus Contoh

$x d x + (y - 2) d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(y - 2) d y = - x d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y - 2 d y = \int - x d x$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int y d y + \int - 2 d y = \int - x d x$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 2 d y = \int - x d x$

Langkah 2.2.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 2 y + C_{2} = \int - x d x$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = \int - x d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \int x d x$

Langkah 2.3.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Langkah 2.3.3

Tulis kembali $- (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ sebagai $- \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y + C_{3} = - \frac{1}{2} x^{2} + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{1}{2} x^{2} + K$

Langkah 3.2

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y = - \frac{x^{2}}{2} + K$

Langkah 3.3

Pindahkan semua pernyataan ke sisi kiri dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Tambahkan $\frac{x^{2}}{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} = K$

Langkah 3.3.2

Kurangkan $K$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{x^{2}}{2} - K = 0$

Langkah 3.4

Kalikan dengan penyebut sekutu terkecil $2$ , kemudian sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Terapkan sifat distributif.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} + 2 (- 2 y) + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{2} - 4 y + 2 (\frac{x^{2}}{2}) + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} - 4 y + x^{2} + 2 (- K) = 0$

Langkah 3.4.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} - 4 y + x^{2} - 2 K = 0$

Langkah 3.4.3

Pindahkan $- 4 y$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Langkah 3.4.4

Susun kembali $y^{2}$ dan $x^{2}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 K - 4 y = 0$

Langkah 3.5

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Langkah 3.6

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = - 4$ , dan $c = x^{2} - 2 K$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $y$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari ${(- 4)}^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.1.2

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} - 2 K)$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.1.3

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 \cdot - 4 - 4 (1 \cdot (x^{2} - 2 K))$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + 1 \cdot (x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.2

Kalikan $x^{2} - 2 K$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.3

Tulis kembali $- 4 (- 4 + x^{2} - 2 K)$ sebagai $2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{4 (- 1) (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.3.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.3.3

Tambahkan tanda kurung.

$y = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.1.4

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 3.7.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$y = \frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$

Langkah 3.7.3

Sederhanakan $\frac{4 \pm 2 \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}}{2}$ .

$y = 2 \pm \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Langkah 3.8

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} - 2 K)}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = 2 + \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$

$y = 2 - \sqrt{- 1 (- 4 + x^{2} + K)}$