Kalkulus Contoh

$z + u (\frac{d z}{d u}) = \frac{z}{1 - z}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d z}{d u}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Kurangkan $z$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$

Langkah 1.1.2

Bagi setiap suku pada $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ dengan $u$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Bagilah setiap suku di $u \frac{d z}{d u} = \frac{z}{1 - z} - z$ dengan $u$ .

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Langkah 1.1.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{u \frac{d z}{d u}}{u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Langkah 1.1.2.2.1.2

Bagilah $\frac{d z}{d u}$ dengan $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{u} + \frac{- z}{u}$

Langkah 1.1.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z}{u}$

Langkah 1.1.2.3.2

Untuk menuliskan $- z$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} - z \cdot \frac{1 - z}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.3.1

Gabungkan $- z$ dan $\frac{1 - z}{1 - z}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z}{1 - z} + \frac{- z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.4.1

Faktorkan $z$ dari $z - z (1 - z)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.4.1.1

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.1.2

Faktorkan $z$ dari $z^{1}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 - z (1 - z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.1.3

Faktorkan $z$ dari $- z (1 - z)$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot 1 + z (- (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.1.4

Faktorkan $z$ dari $z \cdot 1 + z (- (1 - z))$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - (1 - z))}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 \cdot 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 - - z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.4

Kalikan $- - z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.4.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + 1 z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.4.2

Kalikan $z$ dengan $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (1 - 1 + z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.5

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z (0 + z)}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.4.6

Tambahkan $0$ dan $z$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z \cdot z}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.5.1

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.5.2

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1} z^{1}}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.5.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{1 + 1}}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.5.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{\frac{z^{2}}{1 - z}}{u}$

Langkah 1.1.2.3.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Langkah 1.1.2.3.7

Kalikan $\frac{z^{2}}{1 - z}$ dengan $\frac{1}{u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Langkah 1.1.2.3.8

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{z^{2}}{(1 - z) u}$ .

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{u (1 - z)}$

Langkah 1.2

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d z}{d u} = \frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u}$

Langkah 1.3

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1 - z}{z^{2}}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} (\frac{z^{2}}{1 - z} \cdot \frac{1}{u})$

Langkah 1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Kalikan $\frac{z^{2}}{1 - z}$ dengan $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Langkah 1.4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.2.1

Faktorkan $1 - z$ dari $(1 - z) u$ .

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) (u)}$

Langkah 1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1 - z}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{(1 - z) u}$

Langkah 1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Langkah 1.4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $z^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{z^{2}} \cdot \frac{z^{2}}{u}$

Langkah 1.4.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1 - z}{z^{2}} \frac{d z}{d u} = \frac{1}{u}$

Langkah 1.5

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1 - z}{z^{2}} d z = \frac{1}{u} d u$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1 - z}{z^{2}} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $z^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (1 - z) {(z^{2})}^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(z^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 - z) z^{2 \cdot - 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int (1 - z) z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.2

Kalikan $(1 - z) z^{- 2}$ .

$\int 1 z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $z^{- 2}$ dengan $1$ .

$\int z^{- 2} - z \cdot z^{- 2} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan $z$ dengan $z^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Pindahkan $z^{- 2}$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.3.2.2

Kalikan $z^{- 2}$ dengan $z$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.2.1

Naikkan $z$ menjadi pangkat $1$ .

$\int z^{- 2} - (z^{- 2} z^{1}) d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.3.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int z^{- 2} - z^{- 2 + 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.3.2.3

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\int z^{- 2} - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int z^{- 2} d z + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $z^{- 2}$ terhadap $z$ adalah $- z^{- 1}$ .

$- z^{- 1} + C_{1} + \int - z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $z$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- z^{- 1} + C_{1} - \int z^{- 1} d z = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.7

Integral dari $z^{- 1}$ terhadap $z$ adalah $\ln (| z |)$ .

$- z^{- 1} + C_{1} - (\ln (| z |) + C_{2}) = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan.

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \int \frac{1}{u} d u$

Langkah 2.3

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) + C_{3} = \ln (| u |) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{z} - \ln (| z |) = \ln (| u |) + C$