Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kalikan kedua ruas dengan $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{2 y^{3}}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $y^{3}$ dari $2 y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Langkah 1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{6 - x^{2}}{y^{3} \cdot 2}$

Langkah 1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = \frac{6 - x^{2}}{2}$

Langkah 1.3

Tulis kembali persamaan tersebut.

$y^{3} d y = \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y^{3} d y = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Langkah 2.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{6 - x^{2}}{2} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} \int 6 - x^{2} d x$

Langkah 2.3.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (\int 6 d x + \int - x^{2} d x)$

Langkah 2.3.3

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} + \int - x^{2} d x)$

Langkah 2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - \int x^{2} d x)$

Langkah 2.3.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x + C_{2} - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}))$

Langkah 2.3.6

Sederhanakan.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + C_{4}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K$

Langkah 3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Langkah 3.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1

Sederhanakan $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Langkah 3.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Sederhanakan $4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{1}{3} x^{3}) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.1

Gabungkan $x^{3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (6 x) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $6 x$ .

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{2} (2 (3 x)) + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{4} = 4 (3 x + \frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3}) + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.4

Kalikan $\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{3})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1.4.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{2 \cdot 3} + K)$

Langkah 3.2.2.1.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$y^{4} = 4 (3 x - \frac{x^{3}}{6} + K)$

Langkah 3.2.2.1.2

Terapkan sifat distributif.

$y^{4} = 4 (3 x) + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$y^{4} = 12 x + 4 (- \frac{x^{3}}{6}) + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.3.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{x^{3}}{6}$ ke dalam pembilangnya.

$y^{4} = 12 x + 4 \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.2

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y^{4} = 12 x + 2 (2) \frac{- x^{3}}{6} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.3

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.4

Batalkan faktor persekutuan.

$y^{4} = 12 x + 2 \cdot 2 \frac{- x^{3}}{2 \cdot 3} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.2.5

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{4} = 12 x + 2 \frac{- x^{3}}{3} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{- x^{3}}{3}$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{2 (- x^{3})}{3} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{4} = 12 x + \frac{- 2 x^{3}}{3} + 4 K$

Langkah 3.2.2.1.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y^{4} = 12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$

Langkah 3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Langkah 3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt[4]{12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Faktorkan $2$ dari $12 x - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1.1

Faktorkan $2$ dari $12 x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) - \frac{2 x^{3}}{3} + 4 K}$

Langkah 3.4.1.2

Faktorkan $2$ dari $- \frac{2 x^{3}}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 4 K}$

Langkah 3.4.1.3

Faktorkan $2$ dari $4 K$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Langkah 3.4.1.4

Faktorkan $2$ dari $2 (6 x) + 2 (- \frac{x^{3}}{3})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)}$

Langkah 3.4.1.5

Faktorkan $2$ dari $2 (6 x - \frac{x^{3}}{3}) + 2 (2 K)$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.2

Untuk menuliskan $6 x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (6 x \cdot \frac{3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Gabungkan $6 x$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{6 x \cdot 3 - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1

Faktorkan $x$ dari $6 x \cdot 3 - x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.4.1.1

Faktorkan $x$ dari $6 x \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) - x^{3}}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.4.1.2

Faktorkan $x$ dari $- x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.4.1.3

Faktorkan $x$ dari $x (6 \cdot 3) + x (- x^{2})$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (6 \cdot 3 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.4.2

Kalikan $6$ dengan $3$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K)}$

Langkah 3.4.5

Untuk menuliskan $2 K$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + 2 K \cdot \frac{3}{3})}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Gabungkan $2 K$ dan $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 (\frac{x (18 - x^{2})}{3} + \frac{2 K \cdot 3}{3})}$

Langkah 3.4.6.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x (18 - x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.1

Terapkan sifat distributif.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{x \cdot 18 + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.2

Pindahkan $18$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x + x (- x^{2}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 \cdot x - x \cdot x^{2} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.4

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.4.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.4.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.7.4.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - (x^{2} x^{1}) + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.4.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{2 + 1} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.4.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 2 K \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.4.7.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$y = \pm \sqrt[4]{2 \frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}}$

Langkah 3.4.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{18 x - x^{3} + 6 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$

Langkah 3.4.9

Tulis kembali $\sqrt[4]{\frac{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$

Langkah 3.4.10

Kalikan $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ dengan $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Langkah 3.4.11

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.1

Kalikan $\frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{\sqrt[4]{3}}$ dengan $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Langkah 3.4.11.2

Naikkan $\sqrt[4]{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Langkah 3.4.11.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Langkah 3.4.11.4

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Langkah 3.4.11.5

Tulis kembali ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.5.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Langkah 3.4.11.5.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Langkah 3.4.11.5.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $4$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Langkah 3.4.11.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.11.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Langkah 3.4.11.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Langkah 3.4.11.5.5

Evaluasi eksponennya.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} {\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Langkah 3.4.12

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.12.1

Tulis kembali ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Langkah 3.4.12.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K)} \sqrt[4]{27}}{3}$

Langkah 3.4.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.13.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{2 (18 x - x^{3} + 6 K) \cdot 27}}{3}$

Langkah 3.4.13.2

Kalikan $27$ dengan $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + 6 K)}}{3}$

Langkah 4

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt[4]{54 (18 x - x^{3} + K)}}{3}$