Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int - 4 x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - 4 \int x^{3} e^{- x^{4}} d x$

Langkah 2.3.2

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Kemudian $d u_{1} = 2 x d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Biarkan $u_{1} = x^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Diferensialkan $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {\sqrt{u_{1}}}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Tulis kembali ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ sebagai ${u_{1}}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u_{1}}$ sebagai ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{4}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{\frac{2}{1}}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = - 4 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} \frac{1}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $u_{1}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1}}{2} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3.3.3

Gabungkan $\frac{u_{1}}{2}$ dan $e^{- {u_{1}}^{2}}$ .

$y + C_{1} = - 4 \int \frac{u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}}}{2} d u_{1}$

Langkah 2.3.4

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{1}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - 4 (\frac{1}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1})$

Langkah 2.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{- 4}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{- 2}{1} \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3.5.2.2.4

Bagilah $- 2$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = - 2 \int u_{1} e^{- {u_{1}}^{2}} d u_{1}$

Langkah 2.3.6

Biarkan $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Kemudian $d u_{2} = - 2 u_{1} d u_{1}$ sehingga $- \frac{1}{2} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1

Biarkan $u_{2} = - {u_{1}}^{2}$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.6.1.1

Diferensialkan $- {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [- {u_{1}}^{2}]$

Langkah 2.3.6.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{1}$ , turunan dari $- {u_{1}}^{2}$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$- \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Langkah 2.3.6.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 u_{1})$

Langkah 2.3.6.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 u_{1}$

Langkah 2.3.6.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = - 2 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Langkah 2.3.7.2

Gabungkan $e^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 2 \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - 2 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Langkah 2.3.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Langkah 2.3.10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 2.3.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.11.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.11.3

Kalikan $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Langkah 2.3.12

Integral dari $e^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{u_{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.13

Substitusikan kembali untuk setiap variabel substitusi pengintegralan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.13.1

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- {u_{1}}^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {u_{1}}^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.3.13.2

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x^{2}$ .

$y + C_{1} = e^{- {(x^{2})}^{2}} + C_{2}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = e^{- {(x^{2})}^{2}} + K$