Kalkulus Contoh

$(2 x - 3 y) d x - (3 x + y) d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 2 x - 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x - 3 y]$

Langkah 1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 3 y$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Langkah 1.2.2

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 3 y]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [- 3 y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- 3 y$ terhadap $y$ adalah $- 3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \frac{d}{d y} [y]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 \cdot 1$

Langkah 1.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3$

Langkah 1.4

Kurangi $3$ dengan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = - (3 x + y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x + y)]$

Langkah 2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (3 x + y)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [3 x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x + y]$

Langkah 2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 2.7

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 + 0)$

Langkah 2.8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 3$

Langkah 2.8.2

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- 3$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 3$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 3 = - 3$

Langkah 3.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 3 = - 3$ adalah identitas.

Langkah 4

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x + y) d y$

Langkah 5

Integralkan $N (x, y) = - (3 x + y)$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$f (x, y) = - \int 3 x + y d y$

Langkah 5.2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = - (\int 3 x d y + \int y d y)$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = - (3 x y + C + \int y d y)$

Langkah 5.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + \frac{1}{2} y^{2} + C)$

Langkah 5.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + C + \frac{y^{2}}{2} + C)$

Langkah 5.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + C$

Langkah 6

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$

Langkah 7

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x - 3 y$

Langkah 8

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Penjumlahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- (3 x y + \frac{y^{2}}{2}) + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- (3 x y + \frac{y^{2}}{2})$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [3 x y + \frac{y^{2}}{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [3 x y + \frac{y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x y + \frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3.3

Karena $3 y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x y$ terhadap $x$ adalah $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{y^{2}}{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3.5

Karena $\frac{y^{2}}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{y^{2}}{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (3 y \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$- (3 y + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3.7

Tambahkan $3 y$ dan $0$ .

$- (3 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.3.8

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$- 3 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x - 3 y$

Langkah 8.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$- 3 y + \frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y$

Langkah 8.5

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 3 y = 2 x - 3 y$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Tambahkan $3 y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 3 y + 3 y$

Langkah 9.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x - 3 y + 3 y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Tambahkan $- 3 y$ dan $3 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x + 0$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x$

Langkah 10

Temukan $2 x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = 2 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x d x$

Langkah 10.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x d x$

Langkah 10.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$g (x) = 2 \int x d x$

Langkah 10.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 10.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.1

Tulis kembali $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ sebagai $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Langkah 10.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$g (x) = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$g (x) = 1 x^{2} + C$

Langkah 10.5.2.3

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$g (x) = x^{2} + C$

Langkah 11

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{1}{2} y^{2}) + x^{2} + C$

Langkah 12

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x y + \frac{y^{2}}{2}) + x^{2} + C$

Langkah 12.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x, y) = - (3 x y) - \frac{y^{2}}{2} + x^{2} + C$

Langkah 12.3

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (x, y) = - 3 x y - \frac{y^{2}}{2} + x^{2} + C$