Kalkulus Contoh

$(3 x + 2) d y + (y + 2) d x = 0$

Langkah 1

Kurangkan $(y + 2) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(3 x + 2) d y = - (y + 2) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ .

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (3 x + 2) d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (- (y + 2)) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $y + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{(3 x + 2) (y + 2)}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(3 x + 2) (y + 2)} (y + 2) d x$

Langkah 3.3.2

Faktorkan $y + 2$ dari $(3 x + 2) (y + 2)$ .

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Langkah 3.3.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{(y + 2) (3 x + 2)} (y + 2) d x$

Langkah 3.3.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y + 2} d y = \frac{- 1}{3 x + 2} d x$

Langkah 3.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{y + 2} d y = - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y + 2} d y = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u_{1} = y + 2$ . Kemudian $d u_{1} = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u_{1}$ dan $d$ $u_{1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u_{1} = y + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Langkah 4.2.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $y + 2$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 4.2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Langkah 4.2.1.1.4

Karena $2$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 4.2.1.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{1}$ dan $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u_{1}}$ terhadap $u_{1}$ adalah $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $y + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 x + 2} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u_{2} = 3 x + 2$ . Kemudian $d u_{2} = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u_{2} = 3 x + 2$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Langkah 4.3.2.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Langkah 4.3.2.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 + 0$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$3$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ dan $d u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Kalikan $\frac{1}{u_{2}}$ dengan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2} \cdot 3} d u_{2}$

Langkah 4.3.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $u_{2}$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{3 u_{2}} d u_{2}$

Langkah 4.3.4

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 4.3.5

Integral dari $\frac{1}{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Langkah 4.3.6

Sederhanakan.

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Langkah 4.3.7

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $3 x + 2$ .

$\ln (| y + 2 |) + C_{1} = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{1}{3} \ln (| 3 x + 2 |) + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan $\ln (| 3 x + 2 |)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) = - \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} + C$

Langkah 5.2

Pindahkan semua suku yang mengandung logaritma ke sisi kiri dari persamaan.

$\ln (| y + 2 |) + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Langkah 5.3

Untuk menuliskan $\ln (| y + 2 |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\ln (| y + 2 |) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Langkah 5.4

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Gabungkan $\ln (| y + 2 |)$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3}{3} + \frac{\ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Langkah 5.4.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{\ln (| y + 2 |) \cdot 3 + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Langkah 5.5

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\ln (| y + 2 |)$ .

$\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Langkah 5.6

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Sederhanakan $\frac{3 \ln (| y + 2 |) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.1.1

Sederhanakan $3 \ln (| y + 2 |)$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3}) + \ln (| 3 x + 2 |)}{3} = C$

Langkah 5.6.1.1.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3} = C$

Langkah 5.6.1.2

Tulis kembali $\frac{\ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ .

$\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |) = C$

Langkah 5.6.1.3

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln ({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$\ln ({({| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |)}^{\frac{1}{3}}) = C$

Langkah 5.6.1.4

Terapkan kaidah hasil kali ke ${| y + 2 |}^{3} | 3 x + 2 |$ .

$\ln ({({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Langkah 5.6.1.5

Kalikan eksponen dalam ${({| y + 2 |}^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln ({| y + 2 |}^{3 (\frac{1}{3})} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Langkah 5.6.1.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln ({| y + 2 |}^{1} {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Langkah 5.6.1.6

Sederhanakan.

$\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Langkah 5.6.1.7

Susun kembali faktor-faktor dalam $\ln (| y + 2 | {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$

Langkah 5.7

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |)} = e^{C}$

Langkah 5.8

Tulis kembali $\ln ({| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |) = C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{C} = {| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |$

Langkah 5.9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ .

${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$

Langkah 5.9.2

Bagi setiap suku pada ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ dengan ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.2.1

Bagilah setiap suku di ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 | = e^{C}$ dengan ${| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.9.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}} | y + 2 |}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.9.2.2.2

Bagilah $| y + 2 |$ dengan $1$ .

$| y + 2 | = \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.9.3

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$y + 2 = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 5.9.4

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = \pm \frac{C}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$

Langkah 6.2

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = C \frac{1}{{| 3 x + 2 |}^{\frac{1}{3}}} - 2$