Kalkulus Contoh

$3 x^{2} (\ln (y)) d x + \frac{x^{2}}{y} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $3 x^{2} (\ln (y)) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{x^{2}}{y} d y = - 3 x^{2} \ln (y) d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{x^{2} \ln (y)} \cdot \frac{x^{2}}{y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1 x^{2}}{x^{2} \ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{\ln (y) y} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{1}{\ln (y) y}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (- 3 x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 \frac{1}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3.5

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{1}{x^{2} \ln (y)}$ .

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2} \ln (y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = \frac{- 3}{x^{2} \ln (y)} (x^{2} \ln (y)) d x$

Langkah 3.6.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{y \ln (y)} d y = - 3 d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{y \ln (y)} d y = \int - 3 d x$

Langkah 4.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Biarkan $u = \ln (y)$ . Kemudian $d u = \frac{1}{y} d y$ sehingga $y d u = d y$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Biarkan $u = \ln (y)$ . Tentukan $\frac{d u}{d y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1.1

Diferensialkan $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Langkah 4.2.1.1.2

Turunan dari $\ln (y)$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y}$

Langkah 4.2.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - 3 d x$

Langkah 4.2.2

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Langkah 4.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\ln (y)$ .

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = \int - 3 d x$

Langkah 4.3

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| \ln (y) |) + C_{1} = - 3 x + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| \ln (y) |)} = e^{- 3 x + C}$

Langkah 5.2

Tulis kembali $\ln (| \ln (y) |) = - 3 x + C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 x + C} = | \ln (y) |$

Langkah 5.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$ .

$| \ln (y) | = e^{- 3 x + C}$

Langkah 5.3.2

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$

Langkah 5.3.2.2

Untuk menyelesaikan $y$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (y)} = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Langkah 5.3.2.3

Tulis kembali $\ln (y) = \pm e^{- 3 x + C}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{\pm e^{- 3 x + C}} = y$

Langkah 5.3.2.4

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x + C}}$

Langkah 6

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Tulis kembali $e^{- 3 x + C}$ sebagai $e^{- 3 x} e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{- 3 x} e^{C}}$

Langkah 6.2

Susun kembali $e^{- 3 x}$ dan $e^{C}$ .

$y = e^{\pm e^{C} e^{- 3 x}}$

Langkah 6.3

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$y = e^{C e^{- 3 x}}$