Kalkulus Contoh

$(t^{2} - y t^{2}) \frac{d y}{d t} + y^{2} + t \cdot y^{2} = 0$

Langkah 1

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Selesaikan $\frac{d y}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + y^{2} + t y^{2} = 0$

Langkah 1.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d y}{d t}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kurangkan $y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} + t y^{2} = - y^{2}$

Langkah 1.1.2.2

Kurangkan $t y^{2}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Langkah 1.1.3

Faktorkan $t^{2} \frac{d y}{d t}$ dari $t^{2} \frac{d y}{d t} - y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Faktorkan $t^{2} \frac{d y}{d t}$ dari $t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 - y t^{2} \frac{d y}{d t} = - y^{2} - t y^{2}$

Langkah 1.1.3.2

Faktorkan $t^{2} \frac{d y}{d t}$ dari $- y t^{2} \frac{d y}{d t}$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y) = - y^{2} - t y^{2}$

Langkah 1.1.3.3

Faktorkan $t^{2} \frac{d y}{d t}$ dari $t^{2} \frac{d y}{d t} \cdot 1 + t^{2} \frac{d y}{d t} (- y)$ .

$t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$

Langkah 1.1.4

Bagi setiap suku pada $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ dengan $t^{2} (1 - y)$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Bagilah setiap suku di $t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y) = - y^{2} - t y^{2}$ dengan $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{t^{2} \frac{d y}{d t} (1 - y)}{t^{2} (1 - y)} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1 - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d t} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.2.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d t}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{- y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- t y^{2}}{t^{2} (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.3.1.2

Hapus faktor persekutuan dari $t$ dan $t^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.2.1

Faktorkan $t$ dari $- t y^{2}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t^{2} (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1.2.2.1

Faktorkan $t$ dari $t^{2} (1 - y)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Langkah 1.1.4.3.1.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{t (- 1 y^{2})}{t (t (1 - y))}$

Langkah 1.1.4.3.1.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} + \frac{- 1 y^{2}}{t (1 - y)}$

Langkah 1.1.4.3.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Langkah 1.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{y^{2}}{t^{2} (1 - y)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Susun kembali pernyataan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1.1

Susun kembali $1$ dan $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (1 - y)}$

Langkah 1.2.1.1.2

Susun kembali $1$ dan $- y$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Langkah 1.2.1.2

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$

Langkah 1.2.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- \frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Langkah 1.2.1.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)}) - (\frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)})$

Langkah 1.2.2

Untuk menuliskan $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2}}{t (- y + 1)} \cdot \frac{t}{t})$

Langkah 1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(- y + 1) t^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $\frac{y^{2}}{t (- y + 1)}$ dengan $\frac{t}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t (- y + 1) t})$

Langkah 1.2.3.2

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t (- y + 1)})$

Langkah 1.2.3.3

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1} t^{1} (- y + 1)})$

Langkah 1.2.3.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{1 + 1} (- y + 1)})$

Langkah 1.2.3.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - (\frac{y^{2}}{t^{2} (- y + 1)} + \frac{y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)})$

Langkah 1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Langkah 1.2.5

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} + y^{2} t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan dengan $1$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} t}{t^{2} (- y + 1)}$

Langkah 1.2.5.2

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Langkah 1.2.5.3

Faktorkan $y^{2}$ dari $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (t)$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} \cdot (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Langkah 1.2.5.4

Kalikan $y^{2}$ dengan $1 + t$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2} (- y + 1)}$

Langkah 1.3

Kelompokkan kembali faktor.

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}}$

Langkah 1.4

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{- y + 1}{y^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- y + 1}{y^{2}} (- \frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} (\frac{y^{2}}{- y + 1} \cdot \frac{1 + t}{t^{2}})$

Langkah 1.5.2

Kalikan $\frac{y^{2}}{- y + 1}$ dengan $\frac{1 + t}{t^{2}}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{- y + 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Langkah 1.5.3

Batalkan faktor persekutuan dari $- y + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{- y + 1}{y^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- (- y + 1)}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $- y + 1$ dari $- (- y + 1)$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $- y + 1$ dari $(- y + 1) t^{2}$ .

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) (t^{2})}$

Langkah 1.5.3.4

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{(- y + 1) \cdot - 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{(- y + 1) t^{2}}$

Langkah 1.5.3.5

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Langkah 1.5.4

Batalkan faktor persekutuan dari $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{y^{2}} \cdot \frac{y^{2} (1 + t)}{t^{2}}$

Langkah 1.5.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = - \frac{1 + t}{t^{2}}$

Langkah 1.6

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{- y + 1}{y^{2}} d y = - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{- y + 1}{y^{2}} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Pindahkan $y^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\int (- y + 1) {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- y + 1) y^{2 \cdot - 1} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\int (- y + 1) y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.2

Kalikan $(- y + 1) y^{- 2}$ .

$\int - y \cdot y^{- 2} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $y$ dengan $y^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.1

Pindahkan $y^{- 2}$ .

$\int - (y^{- 2} y) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.3.1.2

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$\int - (y^{- 2} y^{1}) + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\int - y^{- 2 + 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.3.1.3

Tambahkan $- 2$ dan $1$ .

$\int - y^{- 1} + 1 y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan $y^{- 2}$ dengan $1$ .

$\int - y^{- 1} + y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int y^{- 1} d y + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.6

Integral dari $y^{- 1}$ terhadap $y$ adalah $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) + \int y^{- 2} d y = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{- 2}$ terhadap $y$ adalah $- y^{- 1}$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) - y^{- 1} + C_{2} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.8

Sederhanakan.

$- \ln (| y |) - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.2.9

Susun kembali suku-suku.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 + t}{t^{2}} d t$

Langkah 2.3.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Pindahkan $t^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) {(t^{2})}^{- 1} d t$

Langkah 2.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(t^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{2 \cdot - 1} d t$

Langkah 2.3.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int (1 + t) t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.3

Kalikan $(1 + t) t^{- 2}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.1

Kalikan $t^{- 2}$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t \cdot t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.4.2

Kalikan $t$ dengan $t^{- 2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1

Kalikan $t$ dengan $t^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.4.2.1.1

Naikkan $t$ menjadi pangkat $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1} t^{- 2} d t$

Langkah 2.3.4.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{1 - 2} d t$

Langkah 2.3.4.2.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - \int t^{- 2} + t^{- 1} d t$

Langkah 2.3.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (\int t^{- 2} d t + \int t^{- 1} d t)$

Langkah 2.3.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $t^{- 2}$ terhadap $t$ adalah $- t^{- 1}$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \int t^{- 1} d t)$

Langkah 2.3.7

Integral dari $t^{- 1}$ terhadap $t$ adalah $\ln (| t |)$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- t^{- 1} + C_{4} + \ln (| t |) + C_{5})$

Langkah 2.3.8

Sederhanakan.

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) + C_{3} = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C_{6}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \frac{1}{y} - \ln (| y |) = - (- \frac{1}{t} + \ln (| t |)) + C$