Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = \frac{a x + b}{c x + d}$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan tersebut.

$d y = \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Langkah 2

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int \frac{a x + b}{c x + d} d x$

Langkah 2.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Biarkan $u = c x + d$ . Kemudian $d u = c d x$ sehingga $\frac{1}{c} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Biarkan $u = c x + d$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.1

Diferensialkan $c x + d$ .

$\frac{d}{d x} [c x + d]$

Langkah 2.3.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $c x + d$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$ .

$\frac{d}{d x} [c x] + \frac{d}{d x} [d]$

Langkah 2.3.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [c x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.3.1

Karena $c$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $c x$ terhadap $x$ adalah $c \frac{d}{d x} [x]$ .

$c \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [d]$

Langkah 2.3.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$c \cdot 1 + \frac{d}{d x} [d]$

Langkah 2.3.1.1.3.3

Kalikan $c$ dengan $1$ .

$c + \frac{d}{d x} [d]$

Langkah 2.3.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1.4.1

Karena $d$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $d$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$c + 0$

Langkah 2.3.1.1.4.2

Tambahkan $c$ dan $0$ .

$c$

Langkah 2.3.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} \cdot \frac{1}{c} d u$

Langkah 2.3.2

Kalikan $\frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u}$ dengan $\frac{1}{c}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u c} d u$

Langkah 2.3.3

Karena $\frac{1}{c}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{c}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c}) + b}{u} d u$

Langkah 2.3.4

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} + \frac{b}{u} d u$

Langkah 2.3.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\int \frac{a (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.6

Karena $a$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $a$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.1

Kalikan $\frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u}$ dengan $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c}{c} \cdot \frac{\frac{u}{c} - \frac{d}{c}}{u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7.2

Gabungkan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c (\frac{u}{c} - \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7.3

Terapkan sifat distributif.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{c \frac{u}{c} + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u + c (- \frac{d}{c})}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7.5

Gabungkan $c$ dan $\frac{d}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7.6

Batalkan faktor persekutuan dari $c$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.7.6.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - \frac{c d}{c}}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.7.6.2

Bagilah $d$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a \int \frac{u - d}{c u} d u + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.8

Karena $\frac{1}{c}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{c}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u - d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.9

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} \int \frac{u}{u} + \frac{- d}{u} d u) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.10

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.11

Batalkan faktor persekutuan dari $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.11.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.11.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (\int d u + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.12

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int \frac{- d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.13

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} + \int - \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.14

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - \int \frac{d}{u} d u)) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.15

Karena $d$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $d$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d \int \frac{1}{u} d u))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.16

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (a (\frac{1}{c} (u + C_{2} - (d (\ln (| u |) + C_{3})))) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.17

Gabungkan $\frac{1}{c}$ dan $a$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{b}{u} d u)$

Langkah 2.3.18

Karena $b$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $b$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b \int \frac{1}{u} d u)$

Langkah 2.3.19

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a}{c} (u + C_{2} - d (\ln (| u |) + C_{3})) + b (\ln (| u |) + C_{4}))$

Langkah 2.3.20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.20.1

Sederhanakan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + b \ln (| u |)) + C_{5}$

Langkah 2.3.20.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.20.2.1

Untuk menuliskan $b \ln (| u |)$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{c} (\frac{a (u - d \ln (| u |))}{c} + \frac{b \ln (| u |) c}{c}) + C_{5}$

Langkah 2.3.20.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{c} \cdot \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c} + C_{5}$

Langkah 2.3.20.2.3

Kalikan $\frac{1}{c}$ dengan $\frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c}$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c \cdot c} + C_{5}$

Langkah 2.3.20.2.4

Naikkan $c$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c} + C_{5}$

Langkah 2.3.20.2.5

Naikkan $c$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1} c^{1}} + C_{5}$

Langkah 2.3.20.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{1 + 1}} + C_{5}$

Langkah 2.3.20.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$y + C_{1} = \frac{a (u - d \ln (| u |)) + b \ln (| u |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Langkah 2.3.21

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $c x + d$ .

$y + C_{1} = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C_{5}$

Langkah 2.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$y = \frac{a (c x + d - d \ln (| c x + d |)) + b \ln (| c x + d |) c}{c^{2}} + C$