Kalkulus Contoh

$x d x + \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = - x d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $\sqrt{a^{2} - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \sqrt{a^{2} - x^{2}} d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Langkah 3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 d y = \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} (- x) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} x d x$

Langkah 3.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = a$ dan $b = x$ .

$1 d y = - \frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Langkah 3.4

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - (\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}) x d x$

Langkah 3.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $\frac{1}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ dengan $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{\sqrt{(a + x) (a - x)} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Langkah 3.5.2

Naikkan $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} \sqrt{(a + x) (a - x)}} x d x$

Langkah 3.5.3

Naikkan $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ menjadi pangkat $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1} {\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1}} x d x$

Langkah 3.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{1 + 1}} x d x$

Langkah 3.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}} x d x$

Langkah 3.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{(a + x) (a - x)}}^{2}$ sebagai $(a + x) (a - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(a + x) (a - x)}$ sebagai ${((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{({((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} x d x$

Langkah 3.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} x d x$

Langkah 3.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Langkah 3.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{\frac{2}{2}}} x d x$

Langkah 3.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{{((a + x) (a - x))}^{1}} x d x$

Langkah 3.5.6.5

Sederhanakan.

$1 d y = - \frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} x d x$

Langkah 3.6

Gabungkan $x$ dan $\frac{\sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)}$ .

$1 d y = - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int d y = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Langkah 4.2

Terapkan aturan konstanta.

$y + C_{1} = \int - \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - \int \frac{x \sqrt{(a + x) (a - x)}}{(a + x) (a - x)} d x$

Langkah 4.3.2

Biarkan $u = (a + x) (a - x)$ . Kemudian $d u = - 2 x d x$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Biarkan $u = (a + x) (a - x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Diferensialkan $(a + x) (a - x)$ .

$\frac{d}{d x} [(a + x) (a - x)]$

Langkah 4.3.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = a + x$ dan $g (x) = a - x$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [a - x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(a + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(a + x) \frac{d}{d x} [- x] + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(a + x) (- \frac{d}{d x} [x]) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(a + x) (- 1 \cdot 1) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$(a + x) \cdot - 1 + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.6.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $a + x$ .

$- 1 \cdot (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.6.3

Tulis kembali $- 1 (a + x)$ sebagai $- (a + x)$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [a + x]$

Langkah 4.3.2.1.3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $a + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) (\frac{d}{d x} [a] + \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3.2.1.3.8

Karena $a$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $a$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (a + x) + (a - x) (0 + \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.3.2.1.3.9

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$- (a + x) + (a - x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.3.2.1.3.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (a + x) + (a - x) \cdot 1$

Langkah 4.3.2.1.3.11

Kalikan $a - x$ dengan $1$ .

$- (a + x) + a - x$

Langkah 4.3.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- a - x + a - x$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.2.1

Tambahkan $- a$ dan $a$ .

$- x + 0 - x$

Langkah 4.3.2.1.4.2.2

Tambahkan $- x$ dan $0$ .

$- x - x$

Langkah 4.3.2.1.4.2.3

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$- 2 x$

Langkah 4.3.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Langkah 4.3.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = - \int \frac{\sqrt{u}}{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Langkah 4.3.3.2

Kalikan $\frac{\sqrt{u}}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Langkah 4.3.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$y + C_{1} = - \int - \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Langkah 4.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = - - \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Langkah 4.3.5.2

Kalikan $\int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Langkah 4.3.6

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Langkah 4.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Langkah 4.3.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.7.2.2

Kalikan $u$ dengan $u^{- \frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.2.1

Kalikan $u$ dengan $u^{- \frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.2.2.1.1

Naikkan $u$ menjadi pangkat $1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.7.2.2.4

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.3.7.3

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.3.1

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3.7.3.2

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.7.3.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.7.3.2.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.7.3.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 4.3.8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Langkah 4.3.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.1

Tulis kembali $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ sebagai $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.9.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.9.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.9.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y + C_{1} = 1 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.9.2.3

Kalikan $u^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$y + C_{1} = u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.3.10

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $(a + x) (a - x)$ .

$y + C_{1} = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$y = {((a + x) (a - x))}^{\frac{1}{2}} + K$