Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{20 - x} y = 4$

Langkah 1

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{2}{20 - x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{2}{20 - x} d x}$

Langkah 1.2

Integralkan $\frac{2}{20 - x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{2 \int \frac{1}{20 - x} d x}$

Langkah 1.2.2

Biarkan $u = 20 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Biarkan $u = 20 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 1.2.2.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 1.2.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{2 \int \frac{- 1}{u} d u}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{2 \int - \frac{1}{u} d u}$

Langkah 1.2.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{2 (- \int \frac{1}{u} d u)}$

Langkah 1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{u} d u}$

Langkah 1.2.6

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| u |) + C)}$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan.

$e^{- 2 \ln (| u |) + C}$

Langkah 1.2.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $20 - x$ .

$e^{- 2 \ln (| 20 - x |) + C}$

Langkah 1.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- 2 \ln (20 - x)}$

Langkah 1.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln ({(20 - x)}^{- 2})}$

Langkah 1.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${(20 - x)}^{- 2}$

Langkah 1.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$

Langkah 2

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Langkah 2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} (\frac{2}{20 - x} y) = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Langkah 2.2.2

Gabungkan $\frac{2}{20 - x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Langkah 2.2.3

Kalikan $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot \frac{2 y}{20 - x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ dengan $\frac{2 y}{20 - x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} (20 - x)} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Langkah 2.2.3.2

Kalikan ${(20 - x)}^{2}$ dengan $20 - x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan ${(20 - x)}^{2}$ dengan $20 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1.1

Naikkan $20 - x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2} {(20 - x)}^{1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Langkah 2.2.3.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{2 + 1}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Langkah 2.2.3.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} \cdot 4$

Langkah 2.3

Gabungkan $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ dan $4$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{2 y}{{(20 - x)}^{3}} = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Langkah 3

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] = \frac{4}{{(20 - x)}^{2}}$

Langkah 4

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y] d x = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Langkah 5

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \int \frac{4}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{1}{{(20 - x)}^{2}} d x$

Langkah 6.2

Biarkan $u = 20 - x$ . Kemudian $d u = - d x$ sehingga $- d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Biarkan $u = 20 - x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali.

$\frac{- 1}{1}$

Langkah 6.2.1.2

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$- 1$

Langkah 6.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int \frac{- 1}{u^{2}} d u$

Langkah 6.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \int - \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 6.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 (- \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Langkah 6.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Langkah 6.5.2

Pindahkan $u^{2}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Langkah 6.5.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.5.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Langkah 6.5.3.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 \int u^{- 2} d u$

Langkah 6.6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- 2}$ terhadap $u$ adalah $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- u^{- 1} + C)$

Langkah 6.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.1

Tulis kembali $- 4 (- u^{- 1} + C)$ sebagai $- 4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = - 4 (- \frac{1}{u}) + C$

Langkah 6.7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.7.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = 4 \frac{1}{u} + C$

Langkah 6.7.2.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{u} + C$

Langkah 6.8

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $20 - x$ .

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y = \frac{4}{20 - x} + C$

Langkah 7

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Pindahkan semua suku yang mengandung variabel ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kurangkan $\frac{4}{20 - x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} = C$

Langkah 7.1.2

Kurangkan $C$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{{(20 - x)}^{2}} y - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Langkah 7.1.3

Gabungkan $\frac{1}{{(20 - x)}^{2}}$ dan $y$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} - C = 0$

Langkah 7.1.4

Untuk menuliskan $- \frac{4}{20 - x}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4}{20 - x} \cdot \frac{20 - x}{20 - x} - C = 0$

Langkah 7.1.5

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari ${(20 - x)}^{2}$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.5.1

Kalikan $\frac{4}{20 - x}$ dengan $\frac{20 - x}{20 - x}$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{(20 - x) (20 - x)} - C = 0$

Langkah 7.1.5.2

Naikkan $20 - x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} (20 - x)} - C = 0$

Langkah 7.1.5.3

Naikkan $20 - x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1} {(20 - x)}^{1}} - C = 0$

Langkah 7.1.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{1 + 1}} - C = 0$

Langkah 7.1.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{y}{{(20 - x)}^{2}} - \frac{4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Langkah 7.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y - 4 (20 - x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Langkah 7.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.7.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y - 4 \cdot 20 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Langkah 7.1.7.2

Kalikan $- 4$ dengan $20$ .

$\frac{y - 80 - 4 (- x)}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Langkah 7.1.7.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C = 0$

Langkah 7.1.8

Untuk menuliskan $- C$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} - C \cdot \frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.9

Gabungkan $- C$ dan $\frac{{(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}}$ .

$\frac{y - 80 + 4 x}{{(20 - x)}^{2}} + \frac{- C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.10

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{y - 80 + 4 x - C {(20 - x)}^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.1

Tulis kembali ${(20 - x)}^{2}$ sebagai $(20 - x) (20 - x)$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C ((20 - x) (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.2

Perluas $(20 - x) (20 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 (20 - x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x (20 - x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (20 \cdot 20 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.3.1.1

Kalikan $20$ dengan $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 + 20 (- x) - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $20$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - x \cdot 20 - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.1.3

Kalikan $20$ dengan $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - x (- x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x - 1 \cdot - 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + 1 x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.1.7

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 20 x - 20 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.3.2

Kurangi $20 x$ dengan $- 20 x$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - C (400 - 40 x + x^{2})}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.4

Terapkan sifat distributif.

$\frac{y - 80 + 4 x - C \cdot 400 - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.11.5.1

Kalikan $400$ dengan $- 1$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - C (- 40 x) - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.5.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C - 1 \cdot - 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.1.11.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 40$ .

$\frac{y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2}}{{(20 - x)}^{2}} = 0$

Langkah 7.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$y - 80 + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 0$

Langkah 7.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tambahkan $80$ ke kedua sisi persamaan.

$y + 4 x - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80$

Langkah 7.3.2

Kurangkan $4 x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - 400 C + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x$

Langkah 7.3.3

Tambahkan $400 C$ ke kedua sisi persamaan.

$y + 40 C x - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C$

Langkah 7.3.4

Kurangkan $40 C x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y - C x^{2} = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x$

Langkah 7.3.5

Tambahkan $C x^{2}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = 80 - 4 x + 400 C - 40 C x + C x^{2}$