Kalkulus Contoh

$\frac{d y}{d x} = a (b - y)$

Langkah 1

Biarkan $v = b - y$ . Masukkan $v$ untuk semua kejadian $b - y$ .

$\frac{d y}{d x} = a v$

Langkah 2

Tentukan $\frac{d v}{d x}$ dengan mendiferensiasikan $b - y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $b - y$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.2

Karena $b$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $b$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 + \frac{d}{d x} [- y]$

Langkah 2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 2.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = 0 - y'$

Langkah 2.4

Kurangi $y'$ dengan $0$ .

$\frac{d v}{d x} = - y'$

Langkah 3

Substitusikan kembali turunan ke persamaan diferensial.

$- \frac{d v}{d x} = a v$

Langkah 4

Pisahkan variabelnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (a v)$

Langkah 4.2

Batalkan faktor persekutuan dari $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $v$ dari $a v$ .

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = \frac{1}{v} (v a)$

Langkah 4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{v} (- \frac{d v}{d x}) = a$

Langkah 4.3

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 \frac{d v}{d x} = a$

Langkah 4.4

Tulis kembali persamaan tersebut.

$\frac{1}{v} \cdot - 1 d v = a d x$

Langkah 5

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{1}{v} \cdot - 1 d v = \int a d x$

Langkah 5.2

Integralkan sisi kiri.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Gabungkan $\frac{1}{v}$ dan $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{v} d v = \int a d x$

Langkah 5.2.1.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int - \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Langkah 5.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $v$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int \frac{1}{v} d v = \int a d x$

Langkah 5.2.3

Integral dari $\frac{1}{v}$ terhadap $v$ adalah $\ln (| v |)$ .

$- (\ln (| v |) + C_{1}) = \int a d x$

Langkah 5.2.4

Sederhanakan.

$- \ln (| v |) + C_{1} = \int a d x$

Langkah 5.3

Terapkan aturan konstanta.

$- \ln (| v |) + C_{1} = a x + C_{2}$

Langkah 5.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $C$ .

$- \ln (| v |) = a x + C$

Langkah 6

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi setiap suku pada $- \ln (| v |) = a x + C$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Bagilah setiap suku di $- \ln (| v |) = a x + C$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \ln (| v |)}{- 1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\ln (| v |)}{1} = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.1.2.2

Bagilah $\ln (| v |)$ dengan $1$ .

$\ln (| v |) = \frac{a x}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{a x}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - 1 \cdot (a x) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.1.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (a x)$ sebagai $- (a x)$ .

$\ln (| v |) = - (a x) + \frac{C}{- 1}$

Langkah 6.1.3.1.3

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| v |) = - a x - 1 \cdot C$

Langkah 6.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 \cdot C$ sebagai $- C$ .

$\ln (| v |) = - a x - C$

Langkah 6.2

Untuk menyelesaikan $v$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- a x - C}$

Langkah 6.3

Tulis kembali $\ln (| v |) = - a x - C$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- a x - C} = | v |$

Langkah 6.4

Selesaikan $v$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $| v | = e^{- a x - C}$ .

$| v | = e^{- a x - C}$

Langkah 6.4.2

Hapus suku nilai mutlak. Ini membuat $\pm$ di sisi kanan persamaan karena $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- a x - C}$

Langkah 7

Kelompokkan suku-suku konstanta bersamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan konstanta dari integral.

$v = \pm e^{- a x + C}$

Langkah 7.2

Tulis kembali $e^{- a x + C}$ sebagai $e^{- a x} e^{C}$ .

$v = \pm e^{- a x} e^{C}$

Langkah 7.3

Susun kembali $e^{- a x}$ dan $e^{C}$ .

$v = \pm e^{C} e^{- a x}$

Langkah 7.4

Gabungkan konstanta dengan plus atau minus.

$v = C e^{- a x}$

Langkah 8

Ganti semua kemunculan $v$ dengan $b - y$ .

$b - y = C e^{- a x}$

Langkah 9

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kurangkan $b$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- y = C e^{- a x} - b$

Langkah 9.2

Bagi setiap suku pada $- y = C e^{- a x} - b$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Bagilah setiap suku di $- y = C e^{- a x} - b$ dengan $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{y}{1} = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Langkah 9.2.2.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{C e^{- a x}}{- 1} + \frac{- b}{- 1}$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1.1

Pindahkan tanda negatif dari penyebut $\frac{C e^{- a x}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Langkah 9.2.3.1.2

Tulis kembali $- 1 \cdot (C e^{- a x})$ sebagai $- (C e^{- a x})$ .

$y = - (C e^{- a x}) + \frac{- b}{- 1}$

Langkah 9.2.3.1.3

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$y = - C e^{- a x} + \frac{b}{1}$

Langkah 9.2.3.1.4

Bagilah $b$ dengan $1$ .

$y = - C e^{- a x} + b$

Langkah 10

Sederhanakan konstanta dari integral.

$y = C e^{- a x} + b$