Kalkulus Contoh

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (3 x)$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (3 x)$ dengan $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (3 x)}{x}$

Langkah 1.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2} \sin (3 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x}$

Langkah 1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x^{1}}$

Langkah 1.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (3 x))}{x \cdot 1}$

Langkah 1.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (3 x)}{1}$

Langkah 1.3.2.5

Bagilah $x \sin (3 x)$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (3 x)$

Langkah 1.4

Faktorkan $y$ dari $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (3 x)$

Langkah 1.5

Susun kembali $y$ dan $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (3 x)$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Langkah 2.2

Integralkan $\frac{- 1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Langkah 2.2.3

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{- \ln (x)}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat logaritma.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Langkah 2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$x^{- 1}$

Langkah 2.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $\frac{1}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.4

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.5

Kalikan $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Kalikan $\frac{y}{x}$ dengan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.5.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.5.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.2.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x$ dari $x \sin (3 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (3 x)))$

Langkah 3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (3 x))$

Langkah 3.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (3 x)$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (3 x)$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (3 x) d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (3 x) d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = 3 x$ . Kemudian $d u = 3 d x$ sehingga $\frac{1}{3} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Biarkan $u = 3 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1.1

Diferensialkan $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Langkah 7.1.1.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Langkah 7.1.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$3$

Langkah 7.1.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$\frac{1}{x} y = \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

Langkah 7.2

Gabungkan $\sin (u)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

Langkah 7.3

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{3}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} \int \sin (u) d u$

Langkah 7.4

Integral dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} (- \cos (u) + C)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Sederhanakan.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{3} (- \cos (u)) + C$

Langkah 7.5.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $\cos (u)$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (u)}{3} + C$

Langkah 7.6

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$\frac{1}{x} y = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Langkah 7.7

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{x} y = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Langkah 8

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $\frac{1}{x}$ dan $y$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\cos (3 x)$ dan $\frac{1}{3}$ .

$\frac{y}{x} = - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

Langkah 8.3

Kalikan kedua ruas dengan $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

Langkah 8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y}{x} x = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

Langkah 8.4.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = (- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Sederhanakan $(- \frac{\cos (3 x)}{3} + C) x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y = - \frac{\cos (3 x)}{3} x + C x$

Langkah 8.4.2.1.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{\cos (3 x)}{3}$ .

$y = - \frac{x \cos (3 x)}{3} + C x$

Langkah 8.4.2.1.3

Susun kembali $- \frac{x \cos (3 x)}{3}$ dan $C x$ .

$y = C x - \frac{x \cos (3 x)}{3}$