Kalkulus Contoh

$2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial sebagai $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Bagilah setiap suku di $2 \frac{d y}{d x} + 3 y = e^{- x}$ dengan $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 1.2.2

Bagilah $\frac{d y}{d x}$ dengan $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{3 y}{2} = \frac{e^{- x}}{2}$

Langkah 1.3

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} y = \frac{1}{2} e^{- x}$

Langkah 2

Faktor integrasi didefinisikan dengan rumus $e^{\int P (x) d x}$ , di mana $P (x) = \frac{3}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat integralnya.

$e^{\int \frac{3}{2} d x}$

Langkah 2.2

Terapkan aturan konstanta.

$e^{\frac{3}{2} x + C}$

Langkah 2.3

Hapus konstanta dari integral.

$e^{\frac{3}{2} x}$

Langkah 2.4

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}}$

Langkah 3

Kalikan setiap suku dengan faktor integrasi $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan setiap suku dengan $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{3}{2} y) = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Langkah 3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3}{2} e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Langkah 3.2.2

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2} y = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Langkah 3.2.3

Gabungkan $\frac{3 e^{\frac{3 x}{2}}}{2}$ dan $y$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = e^{\frac{3 x}{2}} (\frac{1}{2} e^{- x})$

Langkah 3.3

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{3 x}{2}} e^{- x}$

Langkah 3.4

Kalikan $e^{\frac{3 x}{2}}$ dengan $e^{- x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Pindahkan $e^{- x}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} (e^{- x} e^{\frac{3 x}{2}})$

Langkah 3.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x + \frac{3 x}{2}}$

Langkah 3.4.3

Untuk menuliskan $- x$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{- x \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Langkah 3.4.4

Gabungkan $- x$ dan $\frac{2}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2}{2} + \frac{3 x}{2}}$

Langkah 3.4.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{- x \cdot 2 + 3 x}{2}}$

Langkah 3.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1

Faktorkan $x$ dari $- x \cdot 2 + 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.6.1.1

Faktorkan $x$ dari $- x \cdot 2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + 3 x}{2}}$

Langkah 3.4.6.1.2

Faktorkan $x$ dari $3 x$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3}{2}}$

Langkah 3.4.6.1.3

Faktorkan $x$ dari $x (- 1 \cdot 2) + x \cdot 3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 1 \cdot 2 + 3)}{2}}$

Langkah 3.4.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x (- 2 + 3)}{2}}$

Langkah 3.4.6.3

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x \cdot 1}{2}}$

Langkah 3.4.7

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{1}{2} e^{\frac{x}{2}}$

Langkah 3.5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{\frac{x}{2}}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Langkah 3.6

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} y}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{3 y e^{\frac{3 x}{2}}}{2} = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Langkah 4

Tulis kembali sisi kiri sebagai hasil dari diferensiasi perkalian.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] = \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$

Langkah 5

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{3 x}{2}} y] d x = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Langkah 6

Integralkan sisi kiri.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} d x$

Langkah 7

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{\frac{x}{2}} d x$

Langkah 7.2

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{2} d x$ sehingga $2 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Biarkan $u = \frac{x}{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Langkah 7.2.1.2

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 7.2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (1 \cdot 2) d u$

Langkah 7.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \cdot 2 d u$

Langkah 7.3.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} \int 2 e^{u} d u$

Langkah 7.4

Karena $2$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{1}{2} (2 \int e^{u} d u)$

Langkah 7.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Langkah 7.5.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \frac{2}{2} \int e^{u} d u$

Langkah 7.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = 1 \int e^{u} d u$

Langkah 7.5.3

Kalikan $\int e^{u} d u$ dengan $1$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = \int e^{u} d u$

Langkah 7.6

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{u} + C$

Langkah 7.7

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{2}$ .

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{x}{2}} + C$

Langkah 7.8

Susun kembali suku-suku.

$e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$

Langkah 8

Bagi setiap suku pada $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ dengan $e^{\frac{3 x}{2}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Bagilah setiap suku di $e^{\frac{3 x}{2}} y = e^{\frac{1}{2} x} + C$ dengan $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{e^{\frac{3 x}{2}} y}{e^{\frac{3 x}{2}}} = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.2.1.2

Bagilah $y$ dengan $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{1}{2} x}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1

Hapus faktor persekutuan dari $e^{\frac{1}{2} x}$ dan $e^{\frac{3 x}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.1

Faktorkan $e^{\frac{3 x}{2}}$ dari $e^{\frac{1}{2} x}$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.1.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = \frac{e^{\frac{3 x}{2}} e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{e^{\frac{3 x}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = \frac{e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.1.2.4

Bagilah $e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}}$ dengan $1$ .

$y = e^{\frac{\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1

Faktorkan $x$ dari $\frac{1}{2} x \cdot 2 - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.1.1

Faktorkan $x$ dari $\frac{1}{2} x \cdot 2$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) - 3 x}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.1.2

Faktorkan $x$ dari $- 3 x$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.1.3

Faktorkan $x$ dari $x (\frac{1}{2} \cdot 2) + x \cdot - 3$ .

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$y = e^{\frac{x (\frac{1}{2} \cdot 2 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y = e^{\frac{x (1 - 3)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.2.3

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$y = e^{\frac{x \cdot - 2}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.1

Faktorkan $2$ dari $x \cdot - 2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 (1)}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$y = e^{\frac{2 (x \cdot - 1)}{2 \cdot 1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y = e^{\frac{x \cdot - 1}{1}} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.3.2.4

Bagilah $x \cdot - 1$ dengan $1$ .

$y = e^{x \cdot - 1} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.4

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$y = e^{- 1 \cdot x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 8.3.1.5

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$

Langkah 9

Gunakan kondisi sarat untuk menemukan nilai $C$ dengan mensubstitusikan $0$ untuk $x$ dan $5$ untuk $y$ padda $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ .

$5 = e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}}$

Langkah 10

Selesaikan $C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$ .

$e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Langkah 10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{2}}} = 5$

Langkah 10.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $3 \cdot 0$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2}}} = 5$

Langkah 10.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}}} = 5$

Langkah 10.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}}} = 5$

Langkah 10.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \frac{C}{e^{\frac{3 \cdot 0}{1}}} = 5$

Langkah 10.2.2.2.4

Bagilah $3 \cdot 0$ dengan $1$ .

$1 + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 5$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$1 + \frac{C}{e^{0}} = 5$

Langkah 10.2.3.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$1 + \frac{C}{1} = 5$

Langkah 10.2.4

Bagilah $C$ dengan $1$ .

$1 + C = 5$

Langkah 10.3

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $C$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$C = 5 - 1$

Langkah 10.3.2

Kurangi $1$ dengan $5$ .

$C = 4$

Langkah 11

Substitusikan $4$ untuk $C$ dalam $y = e^{- x} + \frac{C}{e^{\frac{3 x}{2}}}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Substitusikan $4$ untuk $C$ .

$y = e^{- x} + \frac{4}{e^{\frac{3 x}{2}}}$