Kalkulus Contoh

$x d x + y e^{- x} d y = 0$

Langkah 1

Kurangkan $x d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$y e^{- x} d y = - x d x$

Langkah 2

Kalikan kedua ruas dengan $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (y e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{- x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $y e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{- x}} (e^{- x} y) d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Langkah 3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$y d y = \frac{1}{e^{- x}} (- x) d x$

Langkah 3.2

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$y d y = - \frac{1}{e^{- x}} x d x$

Langkah 3.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{e^{- x}}$ .

$y d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Langkah 4

Integralkan kedua sisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tulis integral untuk kedua ruas.

$\int y d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Langkah 4.2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Langkah 4.3

Integralkan sisi kanan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tiadakan eksponen dari $e^{- x}$ dan pindahkan dari penyebut.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Langkah 4.3.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Langkah 4.3.2.2.2

Kalikan $- x \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.2.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{1 x} d x$

Langkah 4.3.2.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Langkah 4.3.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Langkah 4.3.4

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Langkah 4.3.5

Sederhanakan.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Langkah 4.4

Kelompokkan konstanta integrasi di ruas kanan sebagai $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$

Langkah 5

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Langkah 5.2

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Sederhanakan $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Langkah 5.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Langkah 5.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Sederhanakan $2 (- (x e^{x} - e^{x}) + K)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- (x e^{x}) - - e^{x} + K)$

Langkah 5.2.2.1.1.2

Kalikan $- - e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + 1 e^{x} + K)$

Langkah 5.2.2.1.1.2.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$y^{2} = 2 (- x e^{x} + e^{x} + K)$

Langkah 5.2.2.1.2

Sederhanakan dengan mengalikan semuanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$y^{2} = 2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K$

Langkah 5.2.2.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$y^{2} = - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$

Langkah 5.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$y = \pm \sqrt{- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K}$

Langkah 5.4

Faktorkan $2$ dari $- 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 K$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 e^{x} + 2 K}$

Langkah 5.4.2

Faktorkan $2$ dari $2 e^{x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Langkah 5.4.3

Faktorkan $2$ dari $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x}) + 2 K}$

Langkah 5.4.4

Faktorkan $2$ dari $2 (- x e^{x}) + 2 (e^{x})$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K}$

Langkah 5.4.5

Faktorkan $2$ dari $2 (- x e^{x} + e^{x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Langkah 5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Langkah 5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

Langkah 5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x e^{x} + e^{x} + K)}$