Kalkulus Contoh

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y = (2 x y - e^{y} - x) d x$

Langkah 1

Tulis kembali persamaan diferensial agar sesuai dengan teknik persamaan diferensial Eksak.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $(2 x y - e^{y} - x) d x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$(x e^{y} + y - x^{2}) d y - (2 x y - e^{y} - x) d x = 0$

Langkah 1.2

Tulis kembali.

$- (2 x y - e^{y} - x) d x + (x e^{y} + y - x^{2}) d y = 0$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = - (2 x y - e^{y} - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (2 x y - e^{y} - x)]$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- (2 x y - e^{y} - x)$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [2 x y - e^{y} - x]$

Langkah 2.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x y - e^{y} - x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Langkah 2.2.3

Karena $2 x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $2 x y$ terhadap $y$ adalah $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Langkah 2.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x + \frac{d}{d y} [- e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Langkah 2.2.6

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- e^{y}$ terhadap $y$ adalah $- \frac{d}{d y} [e^{y}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - \frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- x])$

Langkah 2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ adalah $a^{y} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + \frac{d}{d y} [- x])$

Langkah 2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Karena $- x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $- x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y} + 0)$

Langkah 2.4.2

Tambahkan $2 x - e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x - e^{y})$

Langkah 2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 x) - - e^{y}$

Langkah 2.5.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x - - e^{y}$

Langkah 2.5.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + 1 e^{y}$

Langkah 2.5.2.3

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x + e^{y}$

Langkah 3

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y} + y - x^{2}]$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{y} + y - x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.3.3

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.4

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $y$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - (2 x)$

Langkah 3.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} + 0 - 2 x$

Langkah 3.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $e^{y}$ dan $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{y} - 2 x$

Langkah 3.6.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x + e^{y}$

Langkah 4

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2 x + e^{y}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $- 2 x + e^{y}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$

Langkah 4.2

Karena kedua ruas telah terbukti setara, maka persamaan tersebut adalah identitas trigonometri.

$- 2 x + e^{y} = - 2 x + e^{y}$ adalah identitas.

Langkah 5

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x e^{y} + y - x^{2} d y$

Langkah 6

Integralkan $N (x, y) = x e^{y} + y - x^{2}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$f (x, y) = \int x e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Langkah 6.2

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $x$ keluar dari integral.

$f (x, y) = x \int e^{y} d y + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Langkah 6.3

Integral dari $e^{y}$ terhadap $y$ adalah $e^{y}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \int y d y + \int - x^{2} d y$

Langkah 6.4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C + \int - x^{2} d y$

Langkah 6.5

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = x (e^{y} + C) + \frac{1}{2} y^{2} + C - x^{2} y + C$

Langkah 6.6

Sederhanakan.

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + C$

Langkah 7

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$

Langkah 8

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Karena $e^{y}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $x e^{y}$ terhadap $x$ adalah $e^{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.3.3

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$e^{y} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.4

Karena $\frac{1}{2} y^{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{2} y^{2}$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$e^{y} + 0 + \frac{d}{d x} [- x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{2} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Karena $- y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2} y$ terhadap $x$ adalah $- y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{y} + 0 - y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$e^{y} + 0 - y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.5.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.6

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$e^{y} + 0 - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.7.1

Tambahkan $e^{y}$ dan $0$ .

$e^{y} - 2 y x + \frac{d g}{d x} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 9.7.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 10

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Sederhanakan $- (2 x y - e^{y} - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.1

Tulis kembali.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = 0 + 0 - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 10.1.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y - e^{y} - x)$

Langkah 10.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - (2 x y) - - e^{y} - - x$

Langkah 10.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) - - e^{y} - - x$

Langkah 10.1.1.4.2

Kalikan $- - e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.4.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + 1 e^{y} - - x$

Langkah 10.1.1.4.2.2

Kalikan $e^{y}$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} - - x$

Langkah 10.1.1.4.3

Kalikan $- - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + 1 x$

Langkah 10.1.1.4.3.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 (x y) + e^{y} + x$

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x$

Langkah 10.1.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.1

Tambahkan $2 x y$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{d g}{d x} + e^{y} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y$

Langkah 10.1.2.2

Kurangkan $e^{y}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = - 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$

Langkah 10.1.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $- 2 x y + e^{y} + x + 2 x y - e^{y}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.2.3.1

Tambahkan $- 2 x y$ dan $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x + 0 - e^{y}$

Langkah 10.1.2.3.2

Tambahkan $e^{y} + x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = e^{y} + x - e^{y}$

Langkah 10.1.2.3.3

Kurangi $e^{y}$ dengan $e^{y}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Langkah 10.1.2.3.4

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Langkah 11

Temukan $x$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Langkah 11.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Langkah 11.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 12

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + g (x)$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{1}{2} y^{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 13

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $y^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Langkah 13.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$f (x, y) = x e^{y} + \frac{y^{2}}{2} - x^{2} y + \frac{x^{2}}{2} + C$