Kalkulus Contoh

$(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 1

Temukan $\frac{\partial M}{\partial y}$ di mana $M (x, y) = 3 e^{x} y + x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan $M$ terhadap $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y + x]$

Langkah 1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 e^{x} y + x$ terhadap $y$ adalah $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 e^{x} y] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3

Evaluasi $\frac{d}{d y} [3 e^{x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $3 e^{x}$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $3 e^{x} y$ terhadap $y$ adalah $3 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ adalah $n y^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.3.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + \frac{d}{d y} [x]$

Langkah 1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Karena $x$ konstan terhadap $y$ , turunan dari $x$ terhadap $y$ adalah $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x} + 0$

Langkah 1.4.2

Tambahkan $3 e^{x}$ dan $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 e^{x}$

Langkah 2

Temukan $\frac{\partial N}{\partial x}$ di mana $N (x, y) = e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan $N$ terhadap $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{x}$

Langkah 3

Periksa bahwa $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $3 e^{x}$ ke $\frac{\partial M}{\partial y}$ dan $e^{x}$ ke $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 e^{x} = e^{x}$

Langkah 3.2

Karena sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, maka persamaan bukan identitas trigonometri.

$3 e^{x} = e^{x}$ bukan identitas.

Langkah 4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $3 e^{x}$ untuk $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{3 e^{x} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Langkah 4.2

Substitusikan $e^{x}$ untuk $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{N}$

Langkah 4.3

Substitusikan $e^{x}$ untuk $N$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $e^{x}$ untuk $N$ .

$\frac{3 e^{x} - e^{x}}{e^{x}}$

Langkah 4.3.2

Kurangi $e^{x}$ dengan $3 e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Langkah 4.3.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 e^{x}}{e^{x}}$

Langkah 4.3.3.2

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 4.4

Temukan faktor integral $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d x}$

Langkah 5

Evaluasi integral $e^{\int 2 d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Terapkan aturan konstanta.

$μ (x, y) = e^{2 x + C}$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

$μ (x, y) = e^{2 x} + C$

Langkah 6

Kalikan kedua sisi $(3 e^{x} y + x) d x + e^{x} d y = 0$ dengan faktor integral $e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Kalikan $3 e^{x} y + x$ dengan $e^{2 x}$ .

$(3 e^{x} y + x) e^{2 x} d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 6.2

Terapkan sifat distributif.

$(3 e^{x} y e^{2 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 6.3

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Pindahkan $e^{2 x}$ .

$(3 (e^{2 x} e^{x}) y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 6.3.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(3 e^{2 x + x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 6.3.3

Tambahkan $2 x$ dan $x$ .

$(3 e^{3 x} y + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 6.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $3 e^{3 x} y + x e^{2 x}$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} d y = 0$

Langkah 6.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{2 x}$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x} e^{2 x} d y = 0$

Langkah 6.6

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{2 x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.6.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{x + 2 x} d y = 0$

Langkah 6.6.2

Tambahkan $x$ dan $2 x$ .

$(3 y e^{3 x} + x e^{2 x}) d x + e^{3 x} d y = 0$

Langkah 7

Atur $f (x, y)$ agar sama dengan integral $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{3 x} d y$

Langkah 8

Integralkan $N (x, y) = e^{3 x}$ untuk menemukan $f (x, y)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Terapkan aturan konstanta.

$f (x, y) = e^{3 x} y + C$

Langkah 9

Karena integral $g (x)$ akan mengandung konstanta integral, kita dapat mengganti $C$ dengan $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$

Langkah 10

Atur $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11

Temukan $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Diferensialkan $f$ terhadap $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y + g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{3 x} y + g (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{3 x} y]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Karena $y$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $e^{3 x} y$ terhadap $x$ adalah $y \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x$ .

$y (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.3

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$y (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.5

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$y (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.6

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $e^{3 x}$ .

$y (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.3.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $y$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.4

Diferensialkan menggunakan aturan fungsi yang menyatakan bahwa turunan $g (x)$ adalah $\frac{d g}{d x}$ .

$3 y e^{3 x} + \frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.5.1

Susun kembali suku-suku.

$\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 11.5.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $\frac{d g}{d x} + 3 e^{3 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 3 y e^{3 x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x}$

Langkah 12

Selesaikan $\frac{d g}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\frac{d g}{d x}$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kurangkan $3 y e^{3 x}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d g}{d x} = 3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$

Langkah 12.1.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 y e^{3 x} + x e^{2 x} - 3 y e^{3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.2.1

Kurangi $3 y e^{3 x}$ dengan $3 y e^{3 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x} + 0$

Langkah 12.1.2.2

Tambahkan $x e^{2 x}$ dan $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$

Langkah 13

Temukan $x e^{2 x}$ untuk menemukan $g (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Integralkan kedua sisi $\frac{d g}{d x} = x e^{2 x}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.2

Evaluasi $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x e^{2 x} d x$

Langkah 13.3

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{2 x}$ .

$g (x) = x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 13.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.4.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$g (x) = x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 13.4.2

Gabungkan $x$ dan $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x$

Langkah 13.5

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x)$

Langkah 13.6

Hilangkan tanda kurung.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 x} d x$

Langkah 13.7

Biarkan $u = 2 x$ . Kemudian $d u = 2 d x$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.7.1

Biarkan $u = 2 x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.7.1.1

Diferensialkan $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 13.7.1.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 13.7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.7.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$

Langkah 13.7.2

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ dan $d u$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Langkah 13.8

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Langkah 13.9

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Langkah 13.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.10.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Langkah 13.10.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Langkah 13.11

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$g (x) = \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Langkah 13.12

Tulis kembali $\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ sebagai $\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Langkah 13.13

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Langkah 14

Substitusikan $g (x)$ dalam $f (x, y) = e^{3 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Langkah 15

Sederhanakan $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Langkah 15.1.2

Gabungkan $\frac{x}{2}$ dan $e^{2 x}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C$

Langkah 15.1.3

Gabungkan $e^{2 x}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$

Langkah 15.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $f (x, y) = e^{3 x} y + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$ .

$f (x, y) = y e^{3 x} + \frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4} + C$